$T$ no tiene valores propios

Question

¿Es correcta la siguiente prueba?

Dado que $T\in\mathcal{L}(\mathbf{R}^2)$ definido por $T(x,y) = (-3y,x)$ . $T$ no tiene valores propios.

Prueba. Dejemos que $\sigma_T$ denotan el conjunto de todos los valores propios de $T$ y asumir que $\sigma_T\neq\varnothing$ entonces para algunos $\lambda\in\sigma_T$ tenemos $T(x,y) = \lambda(x,y) = (-3y,x)$ donde $(x,y)\neq (0,0)$ , o lo que es lo mismo $\lambda x = -3y\text{ and }\lambda y = x$ . pero entonces $\lambda(\lambda y) = -3y$ de forma equivalente $y(\lambda^2+3) = 0$ . La ecuación $\lambda^2+3 = 0$ no tiene soluciones en $\mathbf{R}$ en consecuencia $y=0$ y luego por la ecuación $\lambda y = x$ se deduce que $x=0$ así $(x,y) = (0,0)$ contradiciendo el hecho de que $(x,y)\neq (0,0)$ .

$\blacksquare$

Answer 1

Otro enfoque:

La representación matricial de $T$ con respecto a la base estándar $\{(1,0),(0,1)\}$ de $\mathbb{R}^2$ es $A=\begin{pmatrix}0&-3\\1&0\end{pmatrix}$ . Por tanto, la ecuación característica $|A-\lambda I|=0 $ da $\lambda^2+3=0$ . Así, $T$ no tiene valores propios.

Answer 2

La prueba me parece correcta. Aunque también podría haber añadido simplemente el caso de $\lambda$ es cero, ya que de lo contrario habría que multiplicar ambos lados por $0$ reduciría el conjunto de soluciones para $x$ y $y$ .

$Edit:$ El caso no es necesario ya que en realidad estás utilizando la sustitución en lugar de multiplicar ambos lados por $\lambda$ .