Demostrar que si $\sqrt[n]{\prod\limits_{i\leq n}a_i}$ converge a un límite finito entonces $a_n$ converge

Question

Demostrar que si $$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\prod_{i\leq n}a_i} < \infty$$ entonces $\lim_{n\to\infty} a_n$ existe.

Dado que $\{a_i\}$ está acotado y es positivo.

Así que usé los medios de Cesaro para mostrar que $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\prod_{i\leq n}a_i} = \lim_{n\to\infty} a_n$ si el límite existe, pero ¿cómo demostrar que el límite existe?

Answer 1

La existencia de $\lim_{n\to\infty}\Big[\prod_{i\leq n}a_i\Big]^{\frac{1}{n}}$ no implica la existencia de $\lim_{n\to\infty}a_n$ incluso si asumimos que todos los $a_n$ son positivos.

Por ejemplo, si dejamos que $a_n=2$ si $n$ es impar y $a_n=\frac{1}{2}$ si $n$ es par, entonces $(a_1\cdots a_n)^{\frac{1}{n}}\to 1$ como $n\to\infty$ pero $\lim_{n\to\infty}a_n$ no existe.

Esencialmente $(a_1\cdots a_n)^{\frac{1}{n}}$ hace que la secuencia sea más regular de una manera muy similar a la media de Cesaro, como se puede ver tomando logaritmos.