Determinar qué técnica utilizar para resolver un no homogéneas de segundo orden de la PDE

Question

$$ u_{tt}-u_{xx}=1-x, espacio \\espacio espacio\x \in (0,1) $$ con las siguientes condiciones de contorno: $$ u(x,0) = x^2(1-x), $$ $$ u_{t}(x,0) = 0, $$ $$ u_{x}(0,t) = 0, $$ $$ u(1,t) = 0 $$

$u_{tt}$ $u_{xx}$ se definen, respectivamente, como la segunda derivada parcial de $u(x,t)$ con respecto a t, y la segunda derivada parcial de $u(x,t)$ con respecto a x. Mi primera pregunta es, puedo ver algunas formulaciones de la ecuación de onda de utilizar un $c^2$ coeficiente delante de $u_{xx}$. Cómo afecta esto el uso de Duhamel integral, ya que utiliza un 1/2c plazo y en mi caso, c = 0. ¿Qué c representan? Sospecho que hay un cambio de variables que me permita hacer esta ecuación homogénea, y, posiblemente, incluso hacer que las condiciones de frontera homogéneas. Estoy confundido sobre cómo proceder, porque en cada solución que he encontrado, parece que hay que ser muy variadas y exóticas de los métodos de resolución de ecuaciones en derivadas parciales de este tipo y en comparación con ecuaciones diferenciales ordinarias estoy teniendo problemas para ver la progresión lineal de estos diferentes tipos de soluciones. Cualquier ayuda sobre cómo proceder sería muy apreciada.

Answer 1

Sugerencia 1

Primero de todo, deshacerse de la falta de homogeneidad. Recordemos que la solución general de la no homogénea de la PDE es una superposición de la solución general de la homogénea de la PDE y la solución particular de la no homogénea de la PDE, por lo que $$ u = u^h + u^p $$ donde $$ u^h_{tt}-u^h_{xx} = 0 $$ y $$ u^p_{tt}-u^p_{xx} = 1 -x $$ En este problema en particular adivinar solución particular es bastante fácil \begin{align} u^p &= \frac {t^2}2 - \frac {x^3}6 \end{align} Así, se puede reformular el problema como $$ u^h_{tt} - u^h_{xx} = 0 $$ con la adecuada BCs, donde \begin{align} u^h &= u - u^p = u - \frac {t^2}2 + \frac {x^3}6 \\ u^h_t &= u_t - t \\ u^h_x &= u_x + \frac {x^2}2 \end{align} Ahora necesita encontrar BCs de la parte homogénea \begin{align} u^h(x,0) &= u(x,0) - u^p(x,0) = x^2-x^3 + \frac {x^3}6 = x^2 \left ( 1 - \frac 56 x\right ) \\ u^h_t(x,0) &= u_t(x,0) - 0 = 0 \\ u^h_x(0,t) &= u_x(0,t) + 0 = 0 \\ u^h(1,t) &= u(1,t) - \frac {t^2}2 + \frac 16 = \frac 16 - \frac {t^2}2 \end{align} Por lo tanto, ahora que usted simplemente necesita para resolver homogénea de la ecuación de ondas con corresponda de contorno y condiciones iniciales.

Sugerencia 2

Nuevo problema: $$ u_{tt} - u_{xx} = 0 \\ \begin{align} u(x, 0) &= x^2 \left ( 1 - \frac 56 x\right ) \\ u_t(x,0) &= 0 \\ u_x(0,t) &= 0 \\ u(1,t) &= \frac 16 - \frac {t^2}2 \end{align} $$ La ecuación anterior puede ser resuelto mediante separación de variables $$ u = XT,\quad X = X(x),\ T = T(t) \\ u_{tt} - u_{xx} = XT" - X"T = 0 \implica \frac {T"}T = \frac {X"}X = -\lambda^2 $$ cada función tiene una solución $$ T = C_1 \cos \lambda t + C_2 \sin \lambda t \\ X = C_3 \cos \lambda x + C_4 \sin \lambda x $$ Ahora, usted tiene $4$ incógnitas e $4$ condiciones de encontrar esas incógnitas. Es poco más claro ahora?