Desde Euclidiana correlacionador en CFT a los ordenados en el tiempo de correlación en tiempo real: ¿cómo resolver esta ambigüedad?

Question

El vacío de dos puntos de función por un principal operador $O$ peso $\Delta$ en un CFT$_2$ lee $$ s(\tau,x)\equiv\langle O(\tau,x)S(0) \rangle = \frac{1}{(\tau^2+x^2)^{\Delta}}\cdot $$ Este es un Schwinger función (en el sentido de que es un euclidiana de correlación).

¿Cómo puedo obtener el correspondiente Wightman función de $w(t,x)$ y los ordenados en el tiempo de la función $\tau(t,x)$?

Ingenuamente establecimiento $\tau=it$ a $s$ es ambiguo (al menos para los no-entero $\Delta$), ya que para $x^2<t^2$ vamos a tener diferentes respuestas, si tomamos $\tau\to i t+0^+$ o $\tau\to i t+0^-$. Tenga en cuenta que ambos límites se obtiene un resultado invariantes bajo $(t,x)\mapsto(-t,-x)$ para los valores de $t$$x$, por lo tanto ninguno de ellos puede ser el Wightman (función que tiene esta invariancia sólo al $x^2>t^2$ debido a la causalidad).

Natural de la conjetura sería que uno de los dos límites de da $\tau$ y el otro da el anti-tiempo ordenó correlacionador. Es esta conjetura correcta? Si sí, ¿cuál es la prueba?

Otra pregunta es: ¿qué pasa por entero $\Delta$? Parece que no hay ninguna ambigüedad: ¿cuál es el significado físico de esta propiedad?

Answer 1

Aquí es el procedimiento que debe seguir para obtener la Wightman funciones. En primer lugar, permite de acuerdo en que queremos calcular $$ \langle0|\mathcal O_L(t,0)\mathcal O_L(0)|0\rangle, $$ donde $t$ es de Lorenz tiempo (es decir, establecer $x=0$ por ahora). Empezamos con la distancia Euclídea correlacionador, y consideramos que es en la cuantización de tv de segmentos de tiempo. Euclidiana correlators son siempre (Euclidiana tiempo)-ordenó, y tenemos para $\tau>0$ $$ \langle0|\mathcal{S}_E(\tau,0)\mathcal O_E(0)|0\rangle=\tau^{-2\Delta}. $$ Ahora añadimos un componente de Lorenz $t$ a $\tau$, $\tau\to\tau+it$. Primero nos tomamos $t$ pequeña y, a continuación, este es inequívoca. Tenemos a continuación $$ (\tau^2+2it\tau-t^2)^{-\Delta}. $$ Ahora tomamos $\tau$ a cero, manteniendo una actitud positiva. La intuición aquí es que la positividad de $\tau$ mantiene el correlacionador ordenado de la misma manera que empezamos. (Si cambiamos el signo de $\tau$ en Euclidiana, esto invierte el orden-recuerden que la Euclidiana correlators corresponden siempre a tiempo-ordenó vevs en un determinado cuantización.) A continuación, puede ver que esta limitación de procedimiento da dos respuestas diferentes dependiendo del signo de $t$. Obtenemos $$ e^{-i\pi\Delta}|t|^{-2\Delta},\quad t>0,\\ e^{+i\pi\Delta}|t|^{-2\Delta},\quad t<0.\\ $$ Covariantizing, obtenemos el tiempo-como las separaciones $$ \langle0|\mathcal O_L(t,x)\mathcal O_L(0)|0\rangle=e^{-i\pi\Delta\,\mathrm{signo}\,t}|x^2-c^2|^{-\Delta},\quad x^2-c^2<0. $$ Usted puede por la forma en que observe que la respuesta es $PT$-invariante, si te acuerdas de que $T$ es anti-unitaria y por lo tanto es necesario acompañarlo con un conjugación.

Usted puede comparar esto con $\pm i0$ recetas y ver que su conjetura acerca de (anti-)ordenados en el tiempo de correlación fue correcta. Si usted tiene más operadores en la función de correlación, se sigue el mismo procedimiento, manteniendo la distancia Euclídea ordenó a veces como sea necesario cuando simultáneamente a cero. No estoy seguro de cómo se debe interpretar la integral de la $\Delta$s, aunque.