Integración por partes y Lebesgue-Stieltjes integrales

Question

Quiero utilizar la Integración por partes para general Lebesgue-Stieltjes integrales. El siguiente teorema se puede encontrar en la literatura:

Teorema: Si $F$ $G$ son de derecha continua y no la disminución de las funciones, tenemos que: $$ \int_{(a,b]}G(x)\text{d}F(x)=F(b)G(b)-F(a)G(a)- \int_{(a,b]}F(x-)\text{d}G(x),$$ donde $F(x-)$ es la izquierda límite de$F$$x$.

¿El siguiente resultado:se

Teorema: Si $F$ $G$ son de izquierda continua y no la disminución de las funciones, tenemos que: $$ \int_{[a,b)}G(x)\text{d}F(x)=F(b)G(b)-F(a)G(a)- \int_{[a,b)}F(x+)\text{d}G(x),$$ donde $F(x+)$ es el derecho límite de$F$$x$.

Es posible la combinación de estos resultados. Así que use integración por partes al $F$ es correcto cont., $G$ (cont.)?

Answer 1

Se puede Comparar con la siguiente teorema,

Teorema: Supongamos $f$ $g$ están delimitadas las funciones con las no comunes discontinuidades en el intervalo de $[a,b]$, y la de Riemann-Stieltjes integral de $f$ con respecto al $g$ existe. A continuación, la de Riemann-Stieltjes integral de $g$ con respecto al $f$ existe, y

$$\int_{a}^{b} g(x)df(x) = f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_{a}^{b} f(x)dg(x)\,. $$