Hola como dice el titulo me gustaría saber el número de las relaciones de equivalencia división de establecer en conjuntos con exactamente 3 elementos
He venido con la siguiente fórmula y se cree que es correcta, pero me gustaría ver si realmente es :)
para un conjunto a, donde |A| = n y n=3 k donde k es un número natural (Esto es un hecho). Mi fórmula es:
$$\prod\limits_{k=0}^{(n/3)-1}{\binom{n-(3k)}{3(k+1)}}$$
Y tal vez no hay un método más eficiente de escribir esto :P
Gracias
Tenemos $3k$ de la gente. Imaginativo, nos deja el nombre de ellos $1$, $2$, $3$, y así sucesivamente. Colocarlos en el orden $1$, $2$, $3$, y así sucesivamente. (Esto es muy importante para el análisis.)
Nos quieren dividir a la gente $1$ $3k$en clases de equivalencia (equipos) de $3$ cada uno.
Que será en $1$'s equipo? Se puede elegir en $\binom{3k-1}{2}$ maneras.
Mira la primera persona en la línea que aún no ha sido elegido. Que será en su equipo? Se puede elegir en $\binom{3k-4}{2}$ maneras. De continuar.
El número de maneras de dividir a la gente en equipos de $3$ cada uno $$\binom{3k-1}{2}\binom{3k-4}{2}\binom{3k-7}{2}\dots\binom{5}{2}\binom{2}{2}.$$
Comentario: Hay otras maneras de hacer el análisis, que el rendimiento de diferente aspecto, pero expresiones equivalentes. En particular, se pueden obtener expresiones que se ven muy parecida a la una de la OP. Por ejemplo, podemos multiplicar y dividir el término $\binom{3k-3i-1}{2}$ en nuestro producto por $3k-3i$.
La simplificación de La expresión como un producto puede ser simplificado. El producto es $$(3k-1)(3k-2)(3k-4)(3k-5)(3k-7)(3k-8)\cdots (5)(4)(2)(1)$$ dividir por una potencia de $2$. Multiplicar y dividir por la "falta" de los números $3k$, $3k-3$, $3k-6$, y así sucesivamente hasta $3$. Tenemos un simple "producto libre" de la expresión (las comillas son porque después de todo el factorial es un producto que ha sido dado un compacto nombre.)
Otra manera de contar que más fácilmente conduce a un cerrado fórmula para el producto es como este:
Primero elige una clase de $3$; hay $\binom{3k}3$ maneras de hacer esto. A continuación, elija otra clase de $3$ desde el resto de $3k-3$ personas; hay $\binom{3k-3}3$ formas de hacer esto, y así sucesivamente. El producto de todos estos coeficientes binomiales es el coeficiente multinomial
$$\binom{3k}{3,\dotsc,3}=\frac{(3k)!}{3!^k}\;,$$
donde hay $k$ tres en el lado izquierdo. Ahora tenemos $k$ clases de equivalencia, pero podríamos haber elegido estas en $k!$ diferentes órdenes para obtener la misma relación de equivalencia, por lo que el número de diferentes las relaciones de equivalencia es
$$\frac{(3k)!}{3!^kk!}\;,$$
que es la misma que la de André enfoque produce cuando se forma el producto e insertar los factores en $(3k)!$ que faltan en el numerador.
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