El número de equivalencia de las relaciones de la división de establecer en conjuntos con exactamente 3 elementos

Question

Hola como dice el titulo me gustaría saber el número de las relaciones de equivalencia división de establecer en conjuntos con exactamente 3 elementos

He venido con la siguiente fórmula y se cree que es correcta, pero me gustaría ver si realmente es :)

para un conjunto a, donde |A| = n y n=3 k donde k es un número natural (Esto es un hecho). Mi fórmula es:

$$\prod\limits_{k=0}^{(n/3)-1}{\binom{n-(3k)}{3(k+1)}}$$

Y tal vez no hay un método más eficiente de escribir esto :P

Gracias

Answer 1

Tenemos $3k$ de la gente. Imaginativo, nos deja el nombre de ellos $1$, $2$, $3$, y así sucesivamente. Colocarlos en el orden $1$, $2$, $3$, y así sucesivamente. (Esto es muy importante para el análisis.)

Nos quieren dividir a la gente $1$ $3k$en clases de equivalencia (equipos) de $3$ cada uno.

Que será en $1$'s equipo? Se puede elegir en $\binom{3k-1}{2}$ maneras.

Mira la primera persona en la línea que aún no ha sido elegido. Que será en su equipo? Se puede elegir en $\binom{3k-4}{2}$ maneras. De continuar.

El número de maneras de dividir a la gente en equipos de $3$ cada uno $$\binom{3k-1}{2}\binom{3k-4}{2}\binom{3k-7}{2}\dots\binom{5}{2}\binom{2}{2}.$$

Comentario: Hay otras maneras de hacer el análisis, que el rendimiento de diferente aspecto, pero expresiones equivalentes. En particular, se pueden obtener expresiones que se ven muy parecida a la una de la OP. Por ejemplo, podemos multiplicar y dividir el término $\binom{3k-3i-1}{2}$ en nuestro producto por $3k-3i$.

La simplificación de La expresión como un producto puede ser simplificado. El producto es $$(3k-1)(3k-2)(3k-4)(3k-5)(3k-7)(3k-8)\cdots (5)(4)(2)(1)$$ dividir por una potencia de $2$. Multiplicar y dividir por la "falta" de los números $3k$, $3k-3$, $3k-6$, y así sucesivamente hasta $3$. Tenemos un simple "producto libre" de la expresión (las comillas son porque después de todo el factorial es un producto que ha sido dado un compacto nombre.)

Answer 2

Otra manera de contar que más fácilmente conduce a un cerrado fórmula para el producto es como este:

Primero elige una clase de $3$; hay $\binom{3k}3$ maneras de hacer esto. A continuación, elija otra clase de $3$ desde el resto de $3k-3$ personas; hay $\binom{3k-3}3$ formas de hacer esto, y así sucesivamente. El producto de todos estos coeficientes binomiales es el coeficiente multinomial

$$\binom{3k}{3,\dotsc,3}=\frac{(3k)!}{3!^k}\;,$$

donde hay $k$ tres en el lado izquierdo. Ahora tenemos $k$ clases de equivalencia, pero podríamos haber elegido estas en $k!$ diferentes órdenes para obtener la misma relación de equivalencia, por lo que el número de diferentes las relaciones de equivalencia es

$$\frac{(3k)!}{3!^kk!}\;,$$

que es la misma que la de André enfoque produce cuando se forma el producto e insertar los factores en $(3k)!$ que faltan en el numerador.