Estoy buscando razones que motivan el estudio de Hopf álgebra, como sus aplicaciones en otras ramas de las matemáticas, o tal vez con la física. La primera que tengo es que son interesantes por sí mismos. Pero te quiero motivar a los estudiantes de undergaduate y te gusta dar una visión amplia de la materia.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Matt Dawdy
Puntos
5479
Conozco a dos-ish respuestas a esta pregunta.
Representación de la teoría: La categoría de representaciones de un grupo tiene tanto tensor de productos y duales, pero la categoría de representaciones de un álgebra general en general no tiene (o al menos no hay ninguna manera obvia de definir). Desde la categoría de representaciones de un grupo de $G$ es equivalente a la categoría de representaciones del álgebra $k[G]$, esto sugiere que el $k[G]$ está equipada con algo más de estructura.
¿Qué tipo de estructura? Bien, para definir el tensor de producto, utilizamos el hecho de que para un elemento de grupo $g \in G$ que actúa sobre espacios vectoriales $V, W$, el producto tensor $g \otimes g$ actúa en $V \otimes W$ y de esta forma se define una nueva representación. De hecho, esto se extiende a un canónica mapa de $k[G] \to k[G] \otimes k[G]$ dado por la ampliación de $g \mapsto g \otimes g$, y es este mapa, que de manera abstracta proporciona una noción de producto tensor; es el comultiplication en un bialgebra.
Del mismo modo, para definir el doble, utilizamos el hecho de que para un elemento de grupo $g \in G$ que actúa sobre un espacio vectorial $V$ el inverso $g^{-1}$ actúa en $V^{\ast}$ y de esta forma se define una nueva representación. De hecho tenemos otro canónica mapa de $k[G] \to k[G]$ dado por la ampliación de $g \mapsto g^{-1}$, y es este mapa, que de manera abstracta proporciona una noción de doble, es la antípoda en un álgebra de Hopf.
Creo que estas implicaciones pueden ser invertido; es decir, si un lineales categoría tiene tanto tensor de productos y duales, entonces, bajo una leve supuestos debe ser la categoría de representaciones de un álgebra de Hopf (posiblemente una versión debilitada de la misma).
Categoría de la teoría de la: Vamos a $k\text{-Alg}$ denotar la categoría de (no necesariamente conmutativo) $k$-álgebras, y considerar la posibilidad de functors $k\text{-Alg} \to \text{Grp}$ que son representables en el sentido de que, después de la composición con el olvidadizo functor $\text{Grp} \to \text{Set}$, el resultado functor es representable. Un functor es el primero de todos representados por un álgebra de $H$, y por otra parte $\text{Hom}(H, A)$ tiene una canónica de la estructura de grupo en una manera que es natural en $A$. Más precisamente, no son naturales mapas $$\text{Hom}(H, A) \times \text{Hom}(H, A) \to \text{Hom}(H, A), \text{Hom}(H, A) \to \text{Hom}(H, A)$$
la satisfacción obvio requisitos. Por el Yoneda lema, el de arriba mapas provienen de dos fuentes de mapas $$H \to H \otimes H, H \to H$$
que satisfacer, precisamente, los axiomas de la comultiplication y antípoda en un álgebra de Hopf. Por esta razón decimos que álgebras de Hopf son cogroup objetos en $k\text{-Alg}$.
Este argumento puede ser más digerible si nos centramos en álgebras conmutativas. En ese caso, un representable functor puede ser pensado como un esquema afín, y un grupo de valores representables functor puede ser pensado como un esquema de grupo. En otras palabras, conmutativa álgebras de Hopf son precisamente los anillos de funciones regulares en grupo afín esquemas.
De manera más general, álgebras de Hopf ocurren naturalmente como anillos de funciones de algún tipo de grupos de algún tipo. Este es moralmente la razón de su aparición en topología algebraica, por ejemplo, como cohomology anillos de H-espacios.
Entiendo que también hay álgebras de Hopf, que naturalmente aparecen en la combinatoria y que esto tiene algo que ver con el trabajo más reciente vinculación de álgebras de Hopf y diagramas de Feynman, pero no sé mucho acerca de esto.
zyx
Puntos
20965
Antes de Drinfeld del trabajo en la década de 1980 no fue sólo marginal interés por los matemáticos en general (no conmutativa, noncocommutative) álgebras de Hopf, por lo que podría ser difícil sinceramente el interés de los alumnos en el álgebra de Hopf axiomas sin mencionar a los grupos cuánticos.
En este punto de vista el lugar para comenzar es Drinfeld ICM de conferencias y ponencias, o libros en los grupos cuánticos, en los que se discute el ecléctico de las relaciones de las partes de la física y las matemáticas cuyo interés es más evidente. Nudo invariantes; solución de integración de los modelos de la mecánica estadística; conceptual origen del siglo 19 p-análisis; la elevación de la no-cuántico del grupo de teoría de la representación en el carácter $p$ a la característica $0$ (Lusztig); módulos de espacios de curvas y Gal($\bar{Q}/Q$) ; cuántica de cortar y pegar/diagrama de topología y la teoría cuántica de campos; simetrías de "no conmutativa espacios".
Binarytales
Puntos
141
Tim Sullivan
Puntos
10677
Creo que Qiaochu la respuesta es la mejor, pero pensé que dos topológico razones debe ser dado. La primera es que el Steenrod cuadrados forman un álgebra de Hopf, y su estructura es uno de los aspectos más importantes de la teoría de la homología. El segundo es el diagrama de la interpretación de los axiomas. Dejando $\lambda$ denotar el operador de multiplicación, y $Y$ denotar la comultiplication operador, los axiomas del álgebra y coalgebra son fáciles de ver como duales: El diagrama de la asociatividad $\lambda \circ (\lambda \otimes |)= \lambda \circ (| \otimes \lambda)$ convierte a la coassociativity ecuación para Y girando el diagrama de al revés. (BTW) el uso de apilamiento vertical de la composición y a la derecha la yuxtaposición de $\otimes$. El diagrammatics de los axiomas inicio para encontrar topológico aplicaciones tales como Kuperberg, Hennings, etc. También, un pensador visual a menudo se pueden encontrar esquemática de las pruebas de los principales teoremas de Hopf.
