Calcular el $\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n!}}$?

Question

Quiero encontrar el siguiente límite

$$\lim\limits_{n\rightarrow \infty} n^{\frac{1}{n!}}$$

He probado la solución de la siguiente manera:

Deje $L=n^{\frac{1}{n!}}$ esto implica $\log L=\frac{\log n}{n!}$ $\frac{\infty}{\infty}$ formulario $n\rightarrow \infty.$ no sabe cómo proceder. Ayuda requerida

Answer 1

Sugerencia:

$$1 \le n^{1/n!} \le (n!)^{1/n!}$$

Answer 2

SUGERENCIA:

$$\lim_{n\to\infty}n^{\frac{1}{n!}}=\lim_{n\to\infty}\exp\left(\ln\left(n^{\frac{1}{n!}}\right)\right)=\lim_{n\to\infty}\exp\left(\frac{1}{n!}\ln\left(n\right)\right)=\exp\left(\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n!}\right)$$

Answer 3

Estoy escribiendo solución en la pista proporcionada por @Crostul

Tenemos $0<\frac{\log n}{n!}<\frac{1}{(n-1)!}.$ por lo Tanto $0\leq \lim\limits_{\lim\rightarrow\infty} \frac{\log n}{n!}\leq 0$ $L=1.$

Answer 4

Intente con

$$n^{\frac{1}{n!}} = e^{\frac{1}{n!}\ln(n)}$$

A continuación, el límite será de la forma $\frac{\infty}{\infty}$. El $\ln(n)$ función crecer reeeeeeeeeeally lento con respecto a $n!$, con lo que la fracción es cero y se obtiene $e^0 = 1$.

Limiti es $1$.