El problema puede (y, creo, debe) ser movido en el ámbito de la generación de funciones y el poder de la serie.
Podemos configurar la potencia de la serie
$$
\begin{split}
F(a,u)
=&\sum_{n=0}^\infty t_nu^n
=\sum_{k,n\ge 0} a^k u^n
\sum_{\substack{i_1,i_2,\ldots\\ \sum i_j=k\\ \sum ji_j=n}}
{k\choose i_1,i_2,\ldots} p_1^{i_1}p_2^{i_2}\cdots
\\
=&\sum_{k=0}^\infty a^k\cdot(p_1u+p_2u^2+\cdots)^k
\\
=&\frac{1}{1-ap(u)}
\quad\text{where}\quad p(u)=p_1u+p_2u^2+\cdots
\end{split}
$$
donde para su comodidad ponemos a $t_0=1$. Podemos señalar que esta permite una expresión recursiva para $t_n$ señalando que $\sum t_nu^n=1+ap(u)\cdot\sum t_nu^n$ que, si tiramos de la $u^n$ plazo en ambos lados de los rendimientos
$$
t_n=a\cdot\sum_{j=0}^n p_jt_{n-j}
\quad\text{para}\quad n\ge1.
$$
Las condiciones establecidas en el $p_i$ nos dicen que $p(0)=0$, $p(1)=1$ y $p(u)$ tiene radio de convergencia $1/c$.
Las propiedades de $t_n$ está determinado por el radio de convergencia de la serie de $F(a,u)$ en términos de $u$ (que dependerá de $a$).
Ahora nos encontramos con el más pequeño de la solución positiva de $r_a>0$$ap(r_a)=1$. El denominador $1-ap(u)$ $F(a,u)$ a continuación, será de cero a $u=r_a$, y así de esta forma se limita el radio de convergencia. Dado que los coeficientes de $p_i\ge0$, podemos estar seguros de que no hay otra solución $z\in\mathbb{C}$$ap(z)=1$$|z|<r_a$. Así, obtenemos
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{t_{n+1}}{t_n} =\frac{1}{r_a}
\quad\text{donde}\quad
ap(r_a)=1.
$$
De hecho, usando el teorema 2 en Bender, 1978, (o probablemente hay también maneras de demostrar esta sin el teorema), y asumiendo $ap(z)=1$ no tiene otra solución para $|z|\le r_a$ $z=r_a$ (sospecho $p_1>0$ es suficiente para garantizar este), tenemos
$$
t_n\sim\frac{ap'(r_a)}{r_a^{n+1}}
\quad\text{donde}\quad
f_n\sim g_n\stackrel{\text{def}}{\iff}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f_n}{g_n}=1
$$
desde $F(a,u)\cdot(1-ap(u))/(r-u)=1/(r-u)$ nos permite expresar la asymptotics de los coeficientes $t_n$ $F(a,u)$ en términos de los coeficientes de la alimentación de la serie de $1/(r-u)$.
El único problema es lo que sucede si $ap(r_a)=1$ no tiene ninguna solución para $0<r_a<1/c$. Esto puede suceder si $p(u)$ es delimitada como $u\rightarrow 1/c$ de los de abajo. Sin embargo, desde la $p(u)$ tiene radio de convergencia $1/c$, $F(a,u)$ no puede haber mayor convergencia de la radio, así que si este es el caso que nos terminan con radio de convergencia $1/c$$u$$F(a,u)$. Esto garantiza $\limsup\sqrt[n]{t_n}=1/c$, pero demostrando que $t_{n+1}/t_n\rightarrow 1/c$ sería un poco más técnico (y tienen requisitos adicionales).
Sólo un par de ejemplos y contraejemplos, donde las cosas se vuelven más difíciles.
1) Vamos a $m>1$ ser un número natural, y asumir la $p_{mk}=p'_k$ mientras $p_j=0$ todos los $j$ no divisible por $m$. A continuación, $t_n=0$ todos los $n$ no divisible por $m$.
Sospecho que los principales resultados (basados en $ap(r_a)=1$) debe sostener por mucho tiempo, ya que dichas $m>1$ existe. Si ese $m>1$ no existe, el mismo resultado se aplica a la secuencia de $t'_{k}=t_{mk}$, expresado en términos de $p'_k=p_{mk}$.
2) Deje $p_k=\alpha c^k/k^m$ donde $\alpha$ es una constante de normalización y $m>1$. A continuación, $p(u)$ tienen radio de convergencia $1/c$, pero $p(1/c)=\alpha\zeta(m)$. Si $m>2$, incluso conseguimos $p'(1/c)=\alpha\zeta(m-1)/c<\infty$.
3) Este contraejemplos viola la condición de que $p_{n+1}/p_n\rightarrow c$, pero lo voy a dejar en el lugar de todos modos. Deje $p_{2^n}=\alpha c^{2^n}/(n+1)^m$, mientras que otros $p_k$ son cero, y donde $\alpha$ es una constante de normalización. El $t_k$, mientras que sigue disminuyendo, ya no será estrictamente decreciente, pero en lugar de tener salta a valores más altos en cada una de las $k=2^n$, en línea con el cero $p_k$.
Aquí son algunas de las referencias que he tenido uso anteriormente. En el segundo pensamiento, no estoy seguro de qué fuerza se necesita para este caso, pero voy a dejarlos ser. La principal da varios resultados útiles, incluyendo la descripción más precisa de las propiedades asintóticas de la $t_n$ en varios casos:
Bender, E. A. 1974. Asintótica métodos de enumeración. SIAM Apo. 16,
485-515.
Una notificación de un error técnico en este artículo se produce aquí:
Canfield, E. 1984. Comentarios sobre un método asintótico en la combinatoria.
J. Combinat. La Teoría De La Ser. Un 37, 348-352.
He aquí otra referencia que se utiliza una vez al aplicar este método. Yo creo que puede ayudar a asegurar que los técnicos problema Canfield señaló que no es un problema (bajo ciertas condiciones), pero no recuerdo muy bien, así que no estoy seguro de si se va a aplicar a este caso.
Meir, A. y Luna, J. 1989. En un asintótica método de enumeración.
J. Combinat. La Teoría De La Ser. Un 51, 77-89.
