Resolver la relación de recursión $a_n = 3a_{n-1}+4_{n-2}, a_0=a_1 = 1$

Question

Es la primera vez que trabajo con este tipo de problemas y estoy mirando si lo he resuelto correctamente, ¡gracias!

Resolver la relación de recursión $$a_n = 3a_{n-1}+4a_{n-2}, a_0=a_1 = 1$$

Primero obtenemos la ecuación característica:

$$x^n = 3x^{n-1}+4x^{n-2}$$

Dividiendo por el más pequeño obtenemos,

$$x^2=3x+4$$ $$x^2-3x-4 = 0 $$ $$x = 4,-1$$

Utilizando la ecuación auxiliar obtenemos la solución general:

$$a_n = A_1x^{n+1} + A_2x^{n+1}$$

Utilizando las condiciones de la ecuación y nuestra solución para $x$ da,

$$a_0 = 1 = A_1(4) + A_2(-1) = 4A_1 - A_2$$ $$a_1 = 1 = A_1(4)^2 + A_2(-1)^2 = 16A_1 + A_2$$

Resolver para $A_1, A_2$ Tengo $A_1 = \frac{1}{10}, A_2 = -\frac{3}{5}$

Por lo tanto, conectando con la solución general que obtuve,

$$a_n =\left(\frac{1}{10}\right)(4)^{n+1}+\left(-\frac{3}{5}\right)(-1)^{n+1}$$

¿Mis cálculos han sido correctos?

Answer 1

Sí, es correcto. Podemos comprobarlo con el uso de funciones generadoras.
Transformar $a_n = 3a_{n-1} + 4a_{n-2}$ a $$a_{n+2} = 3a_{n+1} + 4a_n \tag{1}$$ .

Dejemos que $A(x) := \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ entonces obtenemos de (1)

$$ \begin{eqnarray*} \sum_{n \geq 0} a_{n+2} x^n &=& 3 \sum_{n \geq 0} a_{n+1} x^n + 4 \sum_{n \geq 0} a_n x^n \\ \Leftrightarrow \frac{A(x)}{x^2} - \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} &=& 3\Big(\frac{A(x)}{x} - \frac{1}{x}\Big) + 4 A(x) \\ \Leftrightarrow A(x) -1 -x &=& 3A(x)x-3x + 4A(x)x^2 \\ \Leftrightarrow A(x) &=& \frac{2x-1}{4x^2+3x-1} \end{eqnarray*} $$ Con las fracciones parciales obtenemos además que $A(x) = \frac{3}{5(x+1)} + \frac{2}{5(1-4x)}$ y en representación en serie equivale a $$ A(x) = \sum_{n \geq 0} x^n \Big(\frac{1}{5} 3(-1)^n + \frac{2}{5} 4^n \Big) $$ Si miramos ahora el coeficiente de $[x^n]$ en $A(x)$ vemos que $$ a_n = \Big(\frac{1}{5} 3(-1)^n + \frac{2}{5} 4^n \Big) $$

Answer 2

Sí es correcto y podemos simplificar un poco como

$$a_n =\frac{2}{5}4^{n}+\frac{3}{5}(-1)^{n}$$