Dado $r < 57$, vamos a $C$ denotar un círculo centrado en ($57$, $r$) con radio de $r$.
$C$ es tangente a una parábola, $y=x^2+r$, desde el exterior en el primer el cuadrante.
Encontrar el valor de $r$.
No estoy seguro de cómo abordar el problema anterior. Empecé con diferencia implícita de que el círculo de la fórmula.
$r^2 = (x-57)^2+(y - r)^2$
$D(r^2) = D\left((x-57)^2+( y - r)\right)$
$0 = 2x - 114 + y'(2y-2r)$
$y' = 114-\dfrac{2x}{2y-2r}$
Para la parábola:
$D(y)=D(x^2+r)$
$y'=2x$
Lo que me da la fórmula de la pendiente de la tangente a la circunferencia. Sin embargo, estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí. ¿Qué hace la pregunta de por medio desde el exterior en el primer cuadrante?
De hecho, estoy modelado de la parábola y el círculo en un gráfico en línea pero no puedo ver cómo hace el primer cuadrante requisito entra en juego desde $r<57$.
Respuestas
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Vamos a punto de intersectan ser $(h,k)$. Se obtienen dos ecuaciones, una de equiparación de las laderas y de los otros a partir de la equiparación de la $y$ coordinar. $(h,k)$ satisface ambas ecuaciones.
$$\frac{114-2h}{2k-2r} = 2h \tag{1}$$
$$(h-57)^2 + (k-r)^2 = r^2 \tag{2}$$
De la primera ecuación se puede escribir:
$$114-2h = 4h^3$$
Dado que este es un cúbicos que representan a $x$ coordenadas del punto de intersección, se necesita sólo una raíz real. Que es el caso aquí, porque derivado de la cúbico $4h^3+2h-114$ es positivo para todos los reales. El valor exacto puede ser engorroso para calcular.
Ahora que tenemos $h$, la utilización de la ecuación de dos para obtener $r$:
$$(h-57)^2 +h^4 = r^2$$
El círculo es tangente a la parábola en ($x_t$, $y_t$), así, un vector $u_{\text{para}}$ colineal a la tangente de la parábola es perpendicular al vector que va desde el punto tangencial a la circunferencia de centro: $$v_{\text{círculo}} = \begin{pmatrix} 57 - x_t\\ r - y_t \end{pmatrix} \; .$$
$u_{\text{para}}$ : $$u_{\text{para}} = \begin{pmatrix} 1\\ 2x_t \end{pmatrix} \; ,$$
Ahora podemos calcular:
$$u_{\text{para}} \cdot v_{\text{circle}} = 0 \leftrightarrow 57 -x_t + 2 x_t (r -y_t) = 0 \; .$$
En el otro extremo, la ecuación de la parábola nos vamos a simplificar la extracción de $r$ y $y_t$: $$ x_t^3 + \dfrac{1}{2} x_t - \dfrac{57}{2} = 0 \; .$$
Esta ecuación es el mismo @Rey Tut encontrado. Este tipo de complicada ecuación con una cúbicos plazo a veces puede ser resuelto fácilmente. Este es parte de ellos. De hecho, la familia de ecuaciones cúbicas: $x^3+cx + d = 0$ puede ser resuelto mediante el Cardan del método que se da en la final : $$x = ^3\sqrt{\dfrac{-d + \sqrt{\Delta}}{2}}+^3\sqrt{\dfrac{-d - \sqrt{\Delta}}{2}} \; ,$$ where $\Delta = d^2 + \dfrac{4c^3}{27} \; .$
Nos da sorprendentemente: $x_t = 3 \; .$ Dado que es una prueba, supongo que había que probar los 5 primeros valores a mano.
Después, tenemos gracias a la circunferencia de ecuación y la ecuación de la parábola: $$ r^2 = x_t^4 + (57 - x_t)^2$$
lo que da aproximadamente $r = 54.7449$ .
Aquí está el resultado visual en la final:
