$$\sum _{i=2}^{63}\frac{i^{2011}-i}{i^2-1}\bmod 2016$$
Cómo podría yo hacer este problema? Sé que debería estar buscando patrones que se relacionan a 2016 y múltiplos, pero después de que me confunden.
Respuesta
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Sugerencia:
El uso de suma fórmula de Progresión Geométrica $$\dfrac{n^{2m+3}-n}{n^2-1}=\sum_{r=0}^mn^{2r+1}$$
$$\implies S=\sum_{n=2}^{63}\dfrac{n^{2m+3}-n}{n^2-1}=\sum_{n=2}^{63}\left(\sum_{r=0}^mn^{2r+1}\right)$$
Intercambiando el orden de la suma,
$$S=\sum_{r=0}^m\left(\sum_{n=2}^{63}n^{2r+1}\right)$$
$$=\sum_{r=0}^m\left(\sum_{n=1}^{63}n^{2r+1}\right)-\sum_{r=0}^m1$$
Ahora $\displaystyle\sum_{r=1}^{63}r=\dfrac{62(63+2)}2\equiv0\pmod{2016}$
Uso Muestran que $1^k+2^k+3^k+ \ldots +n^k$ es divisible por $ 1+2+3+ \ldots +n$
$$\implies S\equiv-\sum_{r=0}^m1\pmod{2016}\equiv2016-(m+1)$$
