Para cualquier función continua $f:S^1\to\mathbb{C}$ demostrar que $\|\sum\hat{f}(n)r^{|n|}e_n-f\|_{\infty}\to 0$$r\to 1$.

Question

Este es el Ejercicio 1.4.9 de "series de Fourier y las integrales" por Mckean.

---

Problema:

Para cualquier función continua $f:S^1\to\mathbb{C}$ demostrar que $\|\sum\hat{f}(n)r^{|n|}e_n-f\|_{\infty}\to 0$$r\to 1$.

---

En el ejercicio anterior, me hizo mostrar que la siguiente identidad tiene

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n)r^{|n|}e^{2\pi i n x}=\int_{S^1}\dfrac{1-r^2}{1-2r\cos(2\pi(x-y))+r^2}f(y)dy.$$ Así lo hice llevando la suma a la integral en el lado izquierdo y, a continuación, utilizar algunas manipulaciones algebraicas.

$\text{ }$

En este ejercicio, ellos me quieren utilizar esa identidad para resolver 1.4.9 y también existe la siguiente sugerencia: $$\int_{S^1}\dfrac{1-r^2}{1-2r\cos(2\pi(x-y))+r^2} dy=\sum\hat{1}(n)r^{|n|}e_n(0)=1.$$

La "solución":

Deje $f:S^1\to\mathbb{C}$ ser una función continua. Ahora tenemos que $$\Big\|\sum\hat{f}(n)r^{|n|}e_n-f\Big\|_{\infty}=\Big\|\int_{S^1}\dfrac{1-r^2}{1-2r\cos(2\pi(x-y))+r^2}f(y) dy-f\Big\|_{\infty}.$$ A partir de aquí, no sé cómo continuar. No tengo idea de cómo utilizar la pista que me dio. Seguro, para $f=1$, e $x=0$, tenemos $$\int_{S^1}\dfrac{1-r^2}{1-2r\cos(2\pi(x-y))+r^2} dy=\sum\hat{1}(n)r^{|n|}e_n(0)=1,$$ y por lo $\|\sum\hat{f}(n)r^{|n|}e_n-f\|_{\infty}\to 0$$r\to 1$.

---

Pero no se siente como he demostrado nada por hacer esto, ya que esto era sólo para una función en particular, a saber,$f=1$. Lo que si puedo elegir otras funciones? Tiene el de arriba me ayudó de alguna manera a demostrar que para cualquier función continua?

Hay algo que me estoy perdiendo? Debo usar esta sugerencia en una etapa posterior de la prueba? Debo volver a escribir la expresión como algo similar a esto y el uso del triángulo de la desigualdad:

$$\Big\|\sum\hat{f}(n)r^{|n|}e_n-f\Big\|_{\infty}=\Big\|\int_{S^1}\dfrac{1-r^2}{1-2r\cos(2\pi(x-y))+r^2}f(y) dy+1-1-f\Big\|_{\infty},$$

y, a continuación, aplicar la pista?

Yo estaría muy agradecido si alguien pudiera ayudarme a resolver este problema, dame alguna pista o que me ayude a entender la sugerencia que me dieron, en el libro, mejor. Gracias! :)

Answer 1

Denotar $$P_r(y):=\dfrac{1-r^2}{1-2r\cos(2\pi y)+r^2}.$$ Observar que $P_r$ es no negativo. Una vez que obtenga $$\int_{S^1}P_r(x-y)dy=1,$$ y utilizar el hecho de que la convolución es conmutativa, se puede ver que $$\int_{S^1}P_r(x-y)f(y)dy-f(x)=\int_{S^1}P_r(y)f(x-y)dy-f(x)=\int_{S^1}P_r(y)(f(x-y)-f(x))dy.$$ Así $$\left\|\int_{S^1}P_r(\cdot-y)f(y)dy-f(\cdot)\right\|_\infty\leq \int_{S^1}|P_r(y)|\|f(\cdot-y)-f(\cdot)\|_\infty dy.$$ Desde $f$ es continua en a $S^1$ $S^1$ es compacto, podemos ver que $f$ es uniformemente continua en a $S^1$. Así $\forall\epsilon>0$, $\exists0<\delta<1$ tal que $$\|f(\cdot-y)-f(\cdot)\|_\infty<\epsilon,\quad\forall |y|<\delta.$$ Split $S^1$ en dos partes: $$S^1=(S^1\setminus\{y:|y|<\delta\})\cup\{y:|y|<\delta\}.$$ Tenemos $$\int_{\{y:|y|<\delta\}}|P_r(y)|\|f(\cdot-y)-f(\cdot)\|_\infty dy\leq\epsilon\int_{S^1}P_r(y)dy=\epsilon.$$ Y $$\begin{aligned}\int_{S^1\setminus\{y:|y|<\delta\}}|P_r(y)|\|f(\cdot-y)-f(\cdot)\|_\infty dy&\leq2\|f\|_\infty\int_{S^1\setminus\{y:|y|<\delta\}}P_r(y)dy\\ &\leq2\|f\|_\infty\int_{S^1\setminus\{y:|y|<\delta\}}\dfrac{1-r^2}{1-2r\cos(2\pi \delta)+r^2}\\ &\leq 2\|f\|_\infty\dfrac{1-r^2}{1-2r\cos(2\pi \delta)+r^2}\to 0, \end{aligned}$$ como $r\to 1^-$. Así vemos que $$\limsup_{r\to 1^-}\left\|\int_{S^1}P_r(\cdot-y)f(y)dy-f(\cdot)\right\|_\infty\leq\epsilon.$$ Dejando $\epsilon\to 0^+$, obtenemos el resultado deseado.