Hermosa suma de raíces trigonométricas

Question

Estaba estudiando la función sincera, me llevó a estudiar la siguiente ecuación sobre $ \mathbb {R}$ $$ x= \tan\left (x \right ) \ \ \ \ \left ( \star\right ) $$ La ecuación $ \left ( \star\right )$ tiene una solución única $x_n$ en $ \displaystyle I_n= \left ] \frac { \pi }{2}+n \pi , \frac { \pi }{2}+ \left (n+1 \right ) \pi\right [$ para $n \in \mathbb {Z}$ con $x_{n}=-x_{-n}$ y $x_0=0$ que nos permite definir una secuencia en $ \mathbb {N}$ sólo.

He leído en alguna parte la siguiente igualdad (asombrosa)

$$ \sum_ {n=0}^{+ \infty } \frac {1}{ \left (x_n \right )^2}= \frac {1}{10} $$

Esta suma existe, porque he demostrado que $$ \frac {1}{ \left (x_n \right )^2} \underset {(+ \infty )}{ \sim } \frac {1}{ \pi ^2 n^2} $$ Pero no sé cómo calcularlo. Pensé en el teorema de residuos haciendo $x_n$ aparece en un polo pero no puede encontrar una manera de probarlo. Cualquier ayuda sería estupenda.

Answer 1

Si las raíces de una función analítica $f(z)$ son números complejos $ \alpha_n $ para el número entero $n$ entonces podemos intentar calcular las sumas de la forma:

$$S_r = \sum_ {n=0}^{ \infty } \frac {1}{ \alpha_n ^r}$$

para el número entero $r$ considerando el contorno integral:

$$ \oint_ {C(R)} \frac {1}{z^r} \frac {f'(z)}{f(z)}dz$$

donde $c(R)$ es un círculo con el origen en el centro. Los ceros $ \alpha_n $ de $f(z)$ dentro del contorno hay entonces simples postes con residuos $ \frac {1}{ \alpha_n ^r}$ . Si la integral del contorno tiende a cero para $R \to\infty $ Entonces $S_r$ más el residuo a cero debe ser cero. En ese caso la suma viene dada por menos el coeficiente de $z^{r-1}$ en la expansión en serie del derivado logarítmico de $f(z)$ . También podemos decir que si se cumple la condición para que la integral del contorno tienda a cero, entonces:

$$S_r = - r \text { coefficient of } z^r \text { of} \log\left [f(z) \right ]$$

En tu caso, puedes tomar $f(z) = \sin (z) - z \cos (z)$

y entonces encontrarás fácilmente que la suma de todos los ceros de los recíprocos al cuadrado es $ \dfrac {1}{5}$ y esto es el doble de la suma de los ceros en el eje real positivo.