Un Problema Con Derivados Del Gas Ideal Entropía A Partir De La Multiplicidad

Question

Para derivar la entropía de un gas ideal a través de la ergodic hipótesis, en primer lugar, encontrar la densidad de estados en función de: $$g(E)=\frac{V^{N}}{h^{3N}}\frac{(2\pi m E)^{\frac{3N}{2}}}{\left(\frac{3N}{2}-1\right)!}\frac{1}{E}$$

La multiplicidad es, a continuación, dar por $\Omega=\int_{E-\frac{\Delta}{2}}^{E+\frac{\Delta}{2}}g(E')dE'\approx \frac{V^{N}}{h^{3N}}\frac{(2\pi m E)^{\frac{3N}{2}}}{\left(\frac{3N}{2}-1\right)!}\frac{\Delta}{E}$, para un pequeño $\Delta$.

A continuación, utilizando la definición de la entropía $S=k_{B} \ln(\Omega)$, y la aplicación de Stirling aproximación, así como asumir que $N \gg 1$, he obtenido:

$$S=Nk_{B}\left(\frac{5}{2}+\ln\left(\frac{V}{N}\left(\frac{4\pi m E}{3Nh^{2}}\right)^{\frac{3N}{2}}\right)\right)+k_{B}\ln\left(\frac{\Delta}{E}\right)$$

El primer término es el Sackur Tetrodo ecuación que se sabe que es correcto, pero el segundo término parece mal.

La mayoría de los recursos parecen apelar al hecho de que $\Delta$ es arbitrariamente pequeño, y establecer $k_{B}\ln\left(\frac{\Delta}{E}\right)=0$, pero si $\Delta \ll E$,$\frac{\Delta}{E}\ll1$, lo que significaría $k_{B}\ln\left(\frac{\Delta}{E}\right)\ll 0$, es decir, el plazo adicional se aproxima $-\infty$, en lugar de $0$, y por tanto no es insignificante. En resumen, no puedo encontrar una manera de jsutify tirar esta tem, como parece volar en lugar de desaparecer para pequeñas $\Delta$, y un esplanation sería muy apreciada.

Answer 1

Parece que han calculado $\ln \Omega$ suponiendo que las permutaciones son distinguibles y suponiendo que la energía se distribuye en el rango de $E-\Delta/2..E+\Delta/2$. Este es ACEPTAR matemáticamente, sino que conduce a:

• exponente $3N/2$ lo que significa que el resultado no es una función homogénea de primer orden de variables$E,V,N$, al igual que de la termodinámica la entropía es. Una consecuencia de esto es que este "entropía" no obedece a la costumbre de la termodinámica relaciones como $T=1/(\partial S/\partial E)$. Para el concepto de homogeneidad en la termodinámica, por ejemplo, comprobar https://faculty.uca.edu/saddison/GordonConference/GordonConferencePoster.pdf ;

• incluso si la corrección de factor se introduce a$\Omega$, de modo que la expresión resultante sea homogénea, el resultado depende de la anchura $\Delta$, lo que en cierta medida es arbitraria.

En las expresiones de función $S(E,V,N)$ (de termodinámica de la entropía), la magnitud de algunas plazo no importa mucho; un término que puede ser instalado o por escrito, incluso si es muy grande, siempre que no dependen de $N$$E$. Así que la magnitud no es la razón de que algunos términos son dados de baja.

La manera en que lo hizo el cálculo - el uso de algunos arbitraria $\Delta$ - lleva a un resultado que depende de $\Delta$, pero sólo muy débilmente. A veces la falta de cumplimiento de plazo se amortiza, si se puede demostrar que el término se ha insignificante consecuencias en la medibles de las cantidades físicas.

Lo que importa son las magnitudes de los derivados de la entropía con respecto a $N$$E$. Supongamos que tenemos la expresión de Sackur-Tetrodo, además de su problemática plazo:

$$ S = Nk_{B}\left(\frac{5}{2}+\ln\left(\frac{V}{N}\left(\frac{4\pi m E}{3Nh^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}\right)\right)+k_{B}\ln\left(\frac{\Delta}{E}\right) $$

Calcular el potencial químico se define como

$$ - T \frac{\partial S}{\partial N}_{E,V=const} $$

la arbitraria plazo no da ninguna contribución, ya que no dependen de $N$.

Cálculo de la inversa de la temperatura se define como

$$ 1/T = \frac{\partial S}{\partial E}_{V,N=const} $$

el Sackur-Tetrodo expresión da contribución $\frac{3}{2}N k_B / E$, mientras que el término arbitrario da contribución $-k_B/E$. Esta segunda es mucho más pequeño y tiene sólo una pequeña diferencia en la temperatura resultante.

Desde el arbitrario término no depende de ninguna otra cantidad física, esos son todos los derivados que importa. Así que el término arbitrario puede ser descuidado.