la probabilidad de obtener el mismo número de colas

Question

Alice lanza una moneda no trucada $n$ independiente veces y Bob lanza una moneda no trucada $m$ independiente veces. Encontrar un elegante o argumento ingenioso para calcular la probabilidad de que tienen el mismo número de Colas. Es mejor que no implican ningún largas sumas de dinero.

La única manera que se me ocurre para el planteamiento de este problema es la de expresar la probabilidad como una suma: $$\sum_{k = 1}^{\min(m, n)} P(\text{Alice gets $k$ tails})*P(\text{Bob gets $k$ tails}) \\ = \sum_{k = 1}^{\min(m, n)} \binom{n}{k} 0.5^n * \binom{m}{k} 0.5^m \\ = 0.5^{n + m}\sum_{k = 1}^{\min(m, n)} \binom{n}{k}\binom{m}{k} $$ sin Embargo, no debo exigir largas sumas de dinero, pero no puedo pensar de una forma más elegante de resolver esto.

Answer 1

Alice lanza su moneda $n$ veces y registros $1$ para una cola & $0$ por una cabeza.

Bob lanza su moneda $m$ veces y registros $0$ para una cola & $1$ por una cabeza.

Esto va a generar una cadena binaria de longitud $n+m$ $m$ (si hay un número igual de colas) \begin{eqnarray*} \underbrace{a_1 a_2 \cdots a_n}_{k \text{ ones and } n-k \text{ zeros}} \,\, \underbrace{b_1 b_2 \cdots b_m}_{k \text{ zeros and } m-k \text{ ones}} \end{eqnarray*} Por lo que la probabilidad es $\color{red}{\binom{n+m}{m} \frac{1}{2^{n+m}}}$.