Deje $w$ ser una primitiva $2m$th raíz de la unidad. A continuación, la secuencia generada por $$x_{n+2}=\frac{w^4x_n-(w^3+w^2)x_{n+1}-wx_nx_{n+1}}{-w-(w^3+1)x_n+w^2x_{n+1}}$$ appears to have period $2m$ para casi todos los términos iniciales.
Puedo probar esta por un (muy) pequeño $m$ y comprueba numéricamente para otros valores de $m$. Yo debería estar agradecido por todas las ideas con respecto a un general de la prueba.
No es una prueba plena, es solo una idea.
La ecuación puede ser escrita como una igualdad homogénea cuadrática y lineal polinómica: $$wx_nx_{n+1}-(w^3+1)x_nx_{n+2}+w^2x_{n+1}x_{n+2}=w^4x_n-(w^3+w^2)x_{n+1}+wx_{n+2}.$$ Secuencias con $x_{n+1}-wx_n=0$ enviar tanto el cuadrática de parte y parte lineal a cero. Esto sugiere escribir la ecuación en la forma $$w^2(x_{n+2}+w)(x_{n+1}-wx_n)=(x_n+w)(x_{n+2}-wx_{n+1}).$$ La restricción a las secuencias no de la forma $x_i=Aw^i,$ esto es equivalente a $$w^2\frac{(x_{n+2}+w)(x_{n+1}+w)}{x_{n+2}-wx_{n+1}}=\frac{(x_n+w)(x_{n+1}+w)}{x_{n+1}-wx_n}.$$
Esto muestra que los números $$y_n=\frac{(x_n+w)(x_{n+1}+w)}{x_{n+1}-wx_n}$$ satisfacer $y_{n+1}=w^{-2}y_n,$ y son, por tanto, $2m$- periódico.
Si el $y_n$ se fija ahora, el mapa de $x_n\mapsto x_{n+1}$ puede considerarse como una transformación de Möbius: $$x_{n+1}=\frac{(wy_n+w)x_n+w^2}{-x_n+(y_n-w)}.$$
y el problema se reduce a mostrar que la composición de la $x_0\mapsto x_1\mapsto \cdots\mapsto x_{2n}$ es la identidad.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
