La adición de valor Absoluto de un número complejo: $ z+\lvert z\rvert=2+8i$

Question

Me gustaría saber mi error en este problema.

Encontrar el número complejo tal que: $$ z+\lvert z\rvert=2+8i$$ Hasta el momento, tengo: $$a+bi+\sqrt{a^2+b^2} = 2 + 8i$$ $$a^2-b^2+a^2+b^2=4-64$$ $$2a^2 -b^2 + b^2=-60$$ $$a^2=-30$$

Pero debo terminar con $$a^2=-15$$

No importa lo mucho que intente, me parece que no puede encontrar lo que hice mal. Alguna sugerencia?

Answer 1

Me gustaría ir sobre esto de manera diferente. Desde $|z| \in \mathbb{R}$, usted sabe que $b=8$ inmediata, ya que de $bi$ es el único término imaginario de la izquierda y $8i$ - a la derecha.

Ahora la única cosa es encontrar $a$...

ACTUALIZACIÓN

Tenemos la ecuación $$a + \sqrt{a^2+64} = 2$$ (hence $un<0$), which implies $$\sqrt{a^2+64} = 2-a$$ y ahora el cuadrado producirá el resultado deseado.

Answer 2

Sin embargo, otra manera: $\,z=2+8i-|z|\,$, lo $\,\bar z =2-8i-|z|\,$, luego multiplicando los dos:

$$\requieren{cancel} z \barra z = (2+8i-|z|)(2-8i-|z|) \;\ffi\; \cancelar{|z|^2} = \cancelar{|z|^2} - 4|z| + 68 \;\ffi\; |z| = 17 $$

Entonces, sustituyendo de nuevo en la primera ecuación: $\,z=2+8i-|z|=\ldots\,$

Answer 3

$a+bi+\sqrt{a^2+b^2} = 2 + 8i$ , por lo que

$a + \sqrt{a^2 + b^2} = 2$ $b = 8$.

Por lo $a + \sqrt{a^2 + 64} = 2$

Por lo $\sqrt{a^2 + 64} = 2- a$

$a^2 + 64 = 4 -4a + a^2$

$4a = -60$

$a = -15$.

$z = -15 + 8i$.

....

Para hacer lo que estaban tratando de

Usted tiene que darse cuenta de que el$Re(z) = a + \sqrt{a^2 + b^2}$$Im(z) = b$. Creo que de alguna manera estaban pensando hubo tres partes $Re(z)=a$ $Im(z) = b$ y algunos $Weird(z) = \sqrt{a^2 + b^2}$ y $z\overline z = Re^2(z) - Im^2(z) + Weird^2(z)$. Que simplemente no es verdad....

$(a+bi+\sqrt{a^2+b^2})(a - bi +\sqrt{a^2 + b^2}) = (2 + 8i)(2-8i)$

$(a + \sqrt{a^2 + b^2})^2 - b^2 = 4 - 64$

$2a^2 + b^2 + 2a\sqrt{a^2 + b^2} -b^2 = -60$

$a^2 + a \sqrt{a^2 + b^2} = -30$

que es un dolor de resolver, pero se puede hacer.

Answer 4

Como usted cuadrado y tomar la parte real, debe ser

$$a^2-b^2+a^2+b^2+2a\sqrt{a^2+b^2}=4-64$$

Answer 5

Para la diversión, la solución de utilizar el polar formulario. Si $z = r e^{i\theta}$: $$re^{i\theta} + r = z + |z| = 2 + 8i,$$ $$re^{i\theta} = (2 - r) + 8i,$$ $$r = |re^{i\theta}| = |(2 - r) + 8i| = \sqrt{(2 - r)^2 + 8^2},$$ $$r^2 = (2 - r)^2 + 64,$$ $$r = 17,$$ $$z = re^{i\theta} = (2 - r) + 8i = -15 + 8i.$$