Cuántos ritmos pueden musical medida tienen?
Obviamente la respuesta es no "$\infty$", por lo que para responder a esta pregunta hemos establecido un mínimo ritmo de $\frac{1}{4}$. Se tendrá en cuenta tanto las notas y silencios y no considerar grupos irregulares como los trillizos y otros. Así que vamos a considerar las notas y silencios como $\frac{1}{4 }$, $\frac{2}{4}$, $\frac{3}{4 }$ ... En lo que respecta medida musical, vamos a considerar la $\frac{L}{4}$ donde $L$ es la longitud de medir y considerar sólo $L>0$. A continuación, calcular el número de combinaciones de ritmos en una medida de frente:
Así que la secuencia se encuentra es: $1,2,5,13,34,...$ y esta es una posible relación con Fibonacci de la interseccion: $$ F(0)=1 $$ $$ F(1)=2 $$ $$F(L)= 3 \cdot F(L-1) - F(L-2); \quad L>1$$ ¿Cómo es posible la prueba de que esta relación de recurrencia es válido para cada una de las $L>1$?IMPORTANTE EDITAR: Lo siento, he olvidado escribir que consideramos ritmos desde el punto de vista acústico, por lo que se considera por ejemplo que dos restos de $\frac{1}{4}$ acústicamente igual al resto de $\frac{2}{4}$, por lo que vamos a considerar sólo el resto de $\frac{2}{4}$.
Además de los ritmos de la arbitraria de duración permitida, por ejemplo, podemos tener una nota de $\frac{5}{4}$ con un símbolo inventado.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Hay tres casos:
- Un ritmo termina con algo que dura más de un cuarto de nota. Hay $F(n-1)$ de estos: podemos obtener cada uno de ellos tomando una arbitraria ritmo de longitud $n-1$ y el alargamiento de la última símbolo por un tiempo.
- Un ritmo termina con un cuarto de nota. Entonces cualquier cosa puede venir antes de que el cuarto de nota, por lo que también hay $F(n-1)$ de estos.
- Un ritmo termina con un cuarto de descanso. A continuación, el siguiente a la última símbolo debe continuar con una nota y no un resto (como no se nos permite tener dos combinados adyacentes descansa). El número de los ritmos de la longitud de la $n-1$ que terminan con un resto es $F(n-2)$, como cualquiera de ellos puede ser obtenido mediante la realización de un ritmo de longitud $n-2$ y luego de descansar un cuarto de golpe. Así que hay $F(n-1)-F(n-2)$ ritmos de longitud $n-1$ que no terminan en un descanso.
Esto le da la orden de 2 de la recurrencia de la relación $$ F(n)=3F(n-1)-F(n-2) $$ como usted cree.
Otra manera de dividir las cosas que puede ser más fácil pensar en:
- Podríamos terminar con un descanso de cualquier longitud. En este caso se puede realizar una arbitraria ritmo de longitud $n-1$ y luego el resto para un latido. Así que hay $F(n-1)$ posibilidades.
- Podríamos terminar con un cuarto de nota. De nuevo en este caso se puede realizar una arbitraria ritmo de longitud $n-1$ y, a continuación, un cuarto de nota, por lo que hay $F(n-1)$ posibilidades.
- Por último, podríamos terminar con una nota más larga (no un resto). A continuación, podemos acortar esta nota por $1$ beat, para obtener una arbitraria ritmo de longitud $n-1$ que termina con una nota. Como en la primera viñeta, hay $F(n-2)$ ritmos de longitud $n-1$ que terminan con un descanso, así que hay $F(n-1)-F(n-2)$ ritmos de longitud $n-1$ que terminan con una nota.
Aquí otra prueba, lo que hace que la conexión con los números de Fibonacci explícita, así como el uso de algunos conceptos básicos de la música. Si la gente tiene problemas con unicode notas musicales, hágamelo saber y voy a tratar de reemplazarlos con imágenes, pero tienen bastante bajos puntos de código, así que esperamos que va a estar bien como es. (Descansa parecen poco compatibles, así que estoy usando imágenes de los ejemplos al final que los involucran.)
El estándar de la combinatoria interpretación de los números de Fibonacci es que $f_k$ (debidamente indexadas) cuenta el número de maneras de mosaico de un camino de longitud $n$ con azulejos de la longitud de cualquiera de las $1$ o $2$. En términos musicales, $f_k$ cuenta el número de posibles ritmos que se $k$ octavo notas, utilizando sólo las corcheas y negras (y no descansa). Si dejamos que el cuarto de nota tiene el ritmo y considerar las secuencias que se $n$ beats largo, se desprende que no se $f_{2n}$ tales secuencias - el mismo número que hay de los tipos de ritmo que usted está tratando de contar.
Teniendo en cuenta este comentario, es muy natural, a buscar un bijection entre estos dos tipos de ritmo. Y, de hecho, podemos encontrar uno.
Cualquier secuencia de cuarto y octavo notas se pueden dividir en:
- Sincopado secciones: Estos consisten en una octava nota que cae en el trimestre-nota latido (es decir, está precedida por un número par de corcheas), seguido por un número de trimestre de notas, seguido por un estilo irónico octava nota (por ejemplo, ♪♩♩♩♪).
- Unsyncopated secciones: Estos constan de un cierto número de trimestre de notas, todos los cuales caen en el trimestre-nota beat (♩♩♩♩♩$\dots$).
Cada una de estas secciones se lleva hasta un número entero de nota negra de los beats. Tenga en cuenta que es conveniente para nuestros propósitos respecto a un par de octava adyacentes notas sobre el beat (♫) como un muy corto sincopado de la sección, aunque en términos musicales no sería considerado sincopado.
Tenga en cuenta que es posible que un sincopado sección para seguir a otro (por ejemplo,, ♪♩♩♪♪♩♩♩♪). Pero si concatenar dos unsyncopated secciones, que acaba de obtener un único más unsyncopated sección (por ejemplo,, ♩♩ + ♩♩♩ = ♩♩♩♩♩). Esto es exactamente análoga a la restricción de los ritmos de la cuestión! En ese caso, usted puede jugar dos notas en la secuencia, pero si "jugar" dos descansa en la secuencia, que acaba de llegar de un largo descanso.
Así que nuestro bijection funcionará de la siguiente forma: dada una secuencia de corcheas y negras, reemplazamos cada sección sincopada con una sola nota de la misma longitud, y cada unsyncopated sección por un descanso de la misma duración. Yendo en la otra dirección, si tenemos una secuencia de notas y silencios, todos los cuales son un número entero número de cuartos de notas largas, reemplazar cada nota con un sincopado de la sección de la misma longitud, y cada descanso con un unsyncopated sección de cada longitud. Estos son claramente bien definido e inverso el uno al otro, lo que completa la prueba.
Para la concreción, aquí están las $n=2$ ejemplos de este bijection (negras y corcheas en la primera medida de cada línea, más notas y silencios en la segunda medición):
y un ejemplo más:
