Probar todas las líneas paralelas a una asíntota de una hipérbola se cruzan la hipérbola sólo una vez

Question

Una hipérbola tiene por ecuación $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$. Mostrar que cada otra línea paralela a esta asíntota, $y=2x$, cruza la hipérbola exactamente una vez.

Así que aquí está la hipérbola. La línea azul representa la asíntota $y = 2x$. No estoy preocupado con la otra asíntota que tiene un negativo de la pendiente, $y =-2x$, aunque los mismos principios son aplicables.

Ahora el problema puede re-formulada como:

Para la línea de $y = 2x+c , c \ne 0$

Probar la línea cruza la hipérbola una vez exactamente para cualquier no-cero c.

La línea naranja representa el caso donde $c>0$.

La línea negra representa el caso donde $c<0$.

Este es geométricamente intuitiva, sin embargo, estoy luchando para demostrar esta manera algebraica.

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PRIMER INTENTO

Primero de todo, sustituto $y = 2x+c$ a $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$$y$.

$\frac{x^2}{4}-\frac{(2x+c)^2}{16}=1$

Multiplicar por 16.

$4x^2-(2x+c)^2=16$

$4x^2-(4x^2+4cx+c^2)=16$

$-4cx-c^2=16$

$c^2 + 4cx + 16 = 0$

Tomar el discriminante para determinar el número de veces que la línea cruza la hipérbola.

$\Delta = B^2 - 4AC$ para un genérico cuadrática $Ax^2 + Bx + C = 0$.

(El uso de mayúsculas $A$, $B$ y $C$ como minúsculas $c$ ya está tomada.)

Por lo tanto,

Para $0x^2 +4cx + (c^2 + 16)=0$ cuando la cuadrática es tomado en términos de $x$.

$\Delta = (4c)^2 -4(0)(c^2 + 16) = 16c^2$

Como $c \ne 0$,

$16c^2 > 0$

Por lo tanto todas las líneas paralelas a $y = 2x$ debe intersectar la hipérbola en dos ocasiones.

Me las he arreglado para refutar lo que yo estoy tratando de probar. Por favor alguien puede explicar de dónde he salido mal.

Answer 1

Usted no tiene una ecuación cuadrática, $c^2+4cx+16=0$ es una ecuación lineal con la única solución de $x=-\frac{16+c^2}{4c}$, por lo que sólo hay un punto de intersección al $c \ne 0$ y ninguno al $c = 0$.

Answer 2

Está hecho en $$c^2+4cx+16=0$$

Recuerde que usted se está resolviendo $x$, y se obtiene sólo una de esas $x$, a menos que $c=0$.