Otras respuestas cubre muy bien por qué necesitamos un axioma de transitividad en el caso de axiomatised la aritmética de Peano.
Pero vale la pena considerar: ¿por qué este no se siente necesario para la igualdad de relación? La siguiente idea puede causantes de su intuición.
En muchas lógicas, tenemos una regla adicional de 'sustitución' o 'substitutivity'. A veces se considera un axioma, a veces una regla de la parte de la lógica, y a veces un axioma esquema (por ejemplo, a veces en Primer Orden de la Lógica, en la que la segunda orden axioma dan a continuación no pueden ser escritos). Leer sobre él aquí en la Wikipedia.
Se ve algo como esto:
Para todas las variables de $x$ $y$ y para todas las fórmulas de $P$, si conocemos $x = y$ y sabemos $P(x)$, entonces sabemos $P(y)$.
Una forma de escribir es como un segundo orden de la declaración es este:
$\forall P. \forall x. \forall y. x = y \implies P(x) \implies P(y)$.
Curiosamente, una vez que tenemos este axioma, la lógica de la regla, o axioma esquema en su lugar, todo lo que se requiere para derivar las otras propiedades de la igualdad es la Reflexividad.
La derivación de Simetría se basa en la observación de que una aplicación de la norma de sustitución con $P$ $w \mapsto w = x$ nos da
$\forall x. \forall y. x = y \implies x = x \implies y = x$.
La derivación de la Transitividad se basa en la observación de que una aplicación de la norma de sustitución con $P$ $w \mapsto w = z$ nos da
$\forall x. \forall y. x = y \implies x = z \implies y = z$.
