Interpretación estocástica de las ecuaciones de Einstein

Question

La teoría de Einstein de la gravitación, relatividad general, es puramente geométrica de la teoría.

En una reciente pregunta quería saber cuál era la relación de movimiento Browniano a la ecuación de Helmholtz es y tiene un muy exhaustivo de la respuesta de George Lowther.

Señaló que no es, resumiendo, un muy general la relación de semi-elípticas de segundo orden los operadores diferenciales de la forma

$$Af = \frac12 a^{ij}f_{,ij} + b^i f_{,i} - cf = 0$$

a un "muerto" el movimiento Browniano. (He utilizado algunos convenio de sumación y $,i = \frac{\partial}{\partial x^i}$.)

Ahora, las ecuaciones de campo de Einstein

$$R_{\mu\nu}-\frac12 g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$$

junto a hiperbólico-elípticas ecuaciones diferenciales parciales (se me cayó la constante cosmológica aquí). Puede que de alguna manera nos aprobar la relación de un proceso aleatorio para este tipo de ecuación, o

Es allí una manera de interpretar la Las ecuaciones de Einstein estocásticamente?

Answer 1

El vínculo entre las ecuaciones de Einstein y un proceso estocástico puede ser logrado a través de flujo de Ricci. Me puede el estado de la cuestión muy fácilmente para el 2d caso, a la vez, de mayores dimensiones que las cosas pueden llegar a ser bastante involucrados. La idea es que un proceso estocástico satisfacer una ecuación de difusión

$$\partial_tP=\Delta_2P$$

y uno puede escribir la solución a través de la integral de Wiener

$$P=\int[dx(t)]e^{-\frac{1}{2}\int_0^td\tau{\dot x}^2(\tau)}.$$

Cuando uno se extienden de este a un genérico de dos dimensiones del colector, la ecuación de difusión, cuando se aplica a la métrica, es que el flujo de Ricci como uno tiene el Laplaciano reemplazado por el Beltrami operador aplicado a la métrica. Entonces, el punto fijo de este flujo de Ricci es sólo Einstein ecuaciones para las dos dimensiones del colector en la mano. Me han dado algunas consideraciones acerca de, fundado en un teorema por Baer y Pfaeffle (ver aquí).

La emocionante idea detrás de esto es que un flujo de Ricci siempre se podía derivar de un proceso estocástico subyacente de un colector. Creo que esto es material para ser estudiado todavía.