Un sinsentido de la combinación de dos iffs ( $\iff$ )

Question

E y F son independientes si $\frac{p(E \cap F)}{p(F)}=p(E)$ .

Además, E y F son independientes si $p(E | F)=p(E)$

¿Por qué me sale una tontería si combino las dos cosas? Obtendría: E y F son independientes si $p(E | F) = \frac{p(E \cap F)}{p(F)}$

¿Por qué el iff no se traslada cuando combino las dos ecuaciones?

Answer 1

Los has combinado mal. De $A \Leftrightarrow B$ y $A \Leftrightarrow C$ , tú puede inferir $B \Leftrightarrow C$ .

Pero has identificado mal lo que $A,B,C$ son. No son los lados de la ecuación, sino

• $A$ es la afirmación " $E$ y $F$ son independientes"
• $B$ es la fórmula $\frac{p(E \cap F)}{p(F)}=p(E)$
• $C$ es la fórmula $p(E | F)=p(E)$

por lo que la combinación correcta es

$$ \frac{p(E \cap F)}{p(F)}=p(E) \qquad \mathrm{iff} \qquad p(E | F)=p(E)$$

Answer 2

Dejemos que $a=\frac{p(E \cap F)}{p(F)}$ , $b=p(E | F)$ y $c=p(E)$ . Usted sabe que las ecuaciones $a=c$ y $b=c$ son equivalentes entre sí (ya que ambos equivalen a " $E$ y $F$ son independientes"). Es decir, siempre que $a=c$ es cierto, $b=c$ también es cierto, y a la inversa.

No hay ninguna razón para $a=b$ para ser equivalente a estas dos afirmaciones, sin embargo. Si $a=c$ es verdadera, entonces $b=c$ también es cierto, por lo que $a=b$ también es cierto. Así que tenemos una implicación en una dirección. Pero la otra dirección no funciona: si sabemos $a=b$ Eso no nos dice nada sobre si $a=c$ o $b=c$ son ciertas. Es totalmente posible que $a$ y $b$ son iguales entre sí, pero no a $c$ .

Answer 3

He aquí un sencillo ejemplo matemático para dilucidar claramente el error lógico:

Un número entero $n$ es un primo par si $n = 2$ .

Un número entero $n$ es un primo par si $n = 1+1$ .

(¡Incorrecto!) Un número entero $n$ es un primo par si $2 = 1+1$ .

Answer 4

[Esta respuesta supone que el argumento del PO es diferente al que suponen las otras respuestas].

Hay una falacia lógica en tu argumento, que parece ser de la siguiente forma:

1. $A\iff(x=y)$
2. $A\iff(z=y)$ donde nosotros definir $z::=x$
3. Por lo tanto, $A\iff [(x=y)\land (z=y)]$

Hasta aquí todo bien, pero el siguiente paso, eliminar $y$ en la conjunción, es incorrecta:

4. Por lo tanto, $A\iff(x=z)$ .

Ese paso sería correcto si $$[(x=y)\land (z=y)]\ \ \iff\ \ (x=z), $$ pero esto falla simplemente porque $$[(x=y)\land (z=y)]\require{cancel}\ \ \cancel\impliedby\ \ (x=z). $$

NB : En su caso, $A$ =(" $E,F$ son independientes"), $x=\frac{p(E \cap F)}{p(F)},$ $y=p(E),$ y $z=p(E\mid F).$

Answer 5

Para responder a la pregunta más general, he aquí un ejemplo:

Supongamos que Kim Jong Un te dice: "En una democracia, lo que el líder prometió es lo que el pueblo votó, y lo que el pueblo votó es lo que el gobierno hace". Tengan paciencia y tomen eso como una definición. Por lo tanto, yo gobierno una democracia, porque lo que el líder prometió es lo que el gobierno hace".