Límite de la sub-secuencia y el límite de secuencia

Question

Supongamos que tenemos una secuencia de los números reales no negativos:

$$a_1\geq a_2\geq a_3\geq\dots\geq 0$$

tal que

$$\lim_{n \to \infty} a_n=0.$$

Suponga que

$$\lim_{k\to\infty} (a_{n_k}\ln n_k)=0$$

para algunos secuencia $(n_k)_{k=0}^\infty$ de los números naturales.

Es cierto que

$$\lim_{n\to\infty} (a_{n}\ln n)=0 $$

también se mantiene?

Tenga en cuenta que la secuencia de $a_n$ necesidad de no ser estrictamente monótona.

Answer 1

No. Deje $n_1=2$$n_{k+1}=\lceil n_k^{\ln n_k}\rceil+1$. Definir $a_{n_k}=\frac{1}{(\ln n_k)^2}$, y se extiende a todos los índices dejando $a_n=a_{n_k}$ por el mayor $n_k$ menos de $n$. Claramente $\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=0$$\lim\limits_{k\to\infty} a_{n_k}\ln n_k=0$. Sin embargo, para $n=n_{k+1}-1$ hemos $$a_n\ln n=\frac{1}{(\ln n_k)^2}\ln \lceil n_k^{\ln n_k}\rceil\geq \frac{1}{(\ln n_k)^2}\ln n_k^{\ln n_k}=1$$ y por lo tanto $\lim\limits_{n\to\infty} a_n\ln n$ no existe.