Integración $\int \frac{\sqrt{x^2-4}}{x^4}$

Question

Problema :

Integrar $\int \frac{\sqrt{x^2-4}}{x^4}$

Lo intenté : Deja $x^2-4 =t^2 \Rightarrow 2xdx = 2tdt$

$\int \frac{\sqrt{x^2-4}}{x^4} \Rightarrow \frac{t^3 dt}{\sqrt{t^2+4}(t^4-8t+16)}$

Pero creo que esto hizo la integral demasiado complicada ... por favor, sugiera cómo proceder .. Gracias...

Answer 1

Además de la respuesta de @Ron, puedes ver que la forma Binomio diferencial está gobernando la integral aquí. Vamos a escribir la integral de la siguiente manera:

$$\int(x^2-4)^{1/2}x^{-4}~dx$$

Así que, $m=-4,p=1/2,n=2$ y así $\frac{m+1}{n}+p=-1\in\mathbb Z$ y por eso el método dice que se puede usar la siguiente bonita sustitución: $$x^2-4=t^{2}x^4$$

Answer 2

Utiliza una sustitución del coseno hiperbólico: $x=2 \cosh{t}$ ; $dx = 2 \sinh{t}\, dt$ . Entonces la integral es igual a

$$\frac14 \int dt \frac{\sinh^2{t}}{\cosh^4{t}} = \frac14 \int dt \, \left (\text{sech}^2{t} - \text{sech}^4{t}\right ) $$

Esta integral es fácil una vez que se reconoce que $d(\tanh{t}) = \text{sech}^2{t}$ y $1-\text{sech}^2{t}=\tanh^2{t}$ :

$$\frac14 \int dt \, \left (\text{sech}^2{t} - \text{sech}^4{t}\right ) = \frac14 \int d(\tanh{t}) \tanh^2{t} = \frac{1}{12} \tanh^3{t}+C $$

donde $C$ es una constante de integración. Entonces sólo hay que volver a sustituir para obtener la integral en $x$ .

Answer 3

$\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^2-4}}{x^4}dx=\int\frac{\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}{x^3}dx$

Poner $\frac1x=z\implies \frac{-1}{x^2}dx=dz$

Así que todo se reduce a, $-\displaystyle\int z\sqrt{1-4z^2}dz$

Nuevamente ponga $1-4z^2=t\implies -8zdz=dt$

De ahí que obtengamos, $\frac18\displaystyle\int \sqrt{t}dt=\frac{1}{12}t^{3/2}+C=\frac{1}{12}(1-4z^2)^{3/2}+C=\frac{(1-4x^2)^{3/2}}{12x^3}+C$

Answer 4

SUGERENCIA:

Como el radical contiene $x^2-4,$

poner $x=2\sec\theta$

$$\implies \int\frac{\sqrt{x^2-4}}{x^4}dx=\int \frac{2|\tan\theta|}{\sec^4\theta} 2\sec\theta\tan\theta d\theta=4\cdot \text{sign}(\tan\theta)\int \sin^2\theta \cos \theta d\theta$$

Poniendo $\sin\theta=u,$

$$4\text{sign}(\tan\theta)\int \sin^2\theta \cos \theta d\theta$$ $$=4\text{sign}(\tan\theta)\int u^2 du=\frac43\cdot\text{sign}(\tan\theta)\cdot u^3+K$$ $$=\frac43\cdot\text{sign}(\tan\theta)\cdot \sin^3\theta+K$$ donde $K$ es una constante arbitraria de la integral indefinida

Ahora, $\sin\theta=\pm\sqrt{1-\cos^2\theta}=\pm\sqrt{1-\left(\frac2x\right)^2}=\pm\frac{\sqrt{4-x^2}}x$

Ahora observe que el signo $(\sin\theta)=$ signo $(\tan\theta)\cdot$ signo $\left(\frac2x\right)$