Pregunta sobre el espacio del cociente, en relación con el espacio del coset izquierdo del grupo $G$ con respecto a un subgrupo $H$

Question

Dejemos que $G$ es un grupo topológico de izquierda y $H$ es un subgrupo de $G$ . Denote por $G/H$ el conjunto de todos los cosets de la izquierda $aH$ de $H$ en $G$ (para cada $a\in G$ ), y dotarlo de la topología del cociente con respecto al mapeo canónico $\pi$ .

Entonces el espacio $G/H$ se denomina espacio del coset izquierdo de $G$ con respecto a $H$ .

Un grupo topológico de izquierda consiste en un grupo $G$ y una topología $\mathfrak{T}$ en el plató $G$ tal que para todo $a\in G$ la acción de la izquierda $\mathfrak{l}_a$ de $a$ en $G$ es un mapeo continuo del espacio $G$ a sí mismo.

No es cierto que un mapa cociente sea necesariamente abierto( Ejemplo de mapa cociente que no es abierto ) pero en este caso, por qué $\pi$ ¿está abierto?

EDITAR: El siguiente teorema Observa que, $\pi$ está abierto; pero no entiendo por qué?

Gracias por tomarse el tiempo.

Answer 1

Parece lo siguiente.

Contraejemplo. Dejemos que $G=F(x,y)$ sea el grupo libre con dos generadores $x$ y $y$ y $p$ sea un número primo. Sea $\mathcal B=\{U_n:n\in\Bbb Z\}$ sea la base de la unidad de un grupo topológico de izquierda $(G,\tau)$ , donde $U_n=\{x^{mp^n}: m\in\Bbb Z\}$ . Eso es una familia $\{gU_n: g\in G, n\in\Bbb N\}$ es una base de la topología $\tau$ . Ahora pon $H=\{y^m:m\in\Bbb Z\}$ . Es fácil comprobar que un conjunto $U_1H=\pi^{-1}\pi(U_1)$ no es abierto, por lo que un conjunto $\pi(U_1)$ no es abierta también en la topología del cociente.

La existencia de un contraejemplo a un teorema del libro de Arhangel'skii y Tkachenko parece extraña, así que preguntaré a mi profesor, que es discípulo de Arhangel'skii, sobre esta contradicción.