Calcular el $\int \dfrac{\cot^3x}{\sqrt{1+\csc^4x}}\;dx$

Question

Evaluar: $$\int \dfrac{\cot^3x}{\sqrt{1+\csc^4x}}\;dx$$

Answer 1

Reescribir la integral como

$$\int dx \frac{\cot{x} (\csc^2{x}-1)}{\sqrt{1+\csc^4{x}}}$$

Dividir la integral a lo largo del numerador. La primera pieza es

$$\int dx \frac{\csc^2{x} \cot{x}}{\sqrt{1+\csc^4{x}}} = -\int \frac{d(\cot{x}) \cot{x}}{\sqrt{1+(1+\cot^2{x})^2}} = -\frac12 \int \frac{du}{\sqrt{(u+1)^2+1}}$$

donde $u=\cot^2{x}$. La segunda pieza es

$$-\int dx \frac{\cot{x}}{\sqrt{1+\csc^4{x}}} = -\int dx \frac{\cos{x}\sin{x}}{\sqrt{1+\sin^4{x}}} = -\frac12 \int \frac{dv}{\sqrt{1+v^2}}$$

donde $v=\sin^2{x}$. Uso

$$\int \frac{dw}{\sqrt{w^2+1}} = \log{(w+\sqrt{w^2+1})}+C$$

y usted debería ser capaz de terminar esto.