La forma de entender la relación entre las dos definiciones es considerar dos sistemas que están en contacto, de modo que el intercambio de energía. La energía intercambiada se llama "calor" cuando es al azar y microscópicas.
Iniciar con la definición en términos de microstates. La entropía es el registro del número de microstates, por lo que hay un $S_1(E)$ para el sistema uno, y $S_2(E)$ para el sistema de 2. El número total de microstates es el producto del número de estados en cada una de sistema 1 y 2, con lo que consigue que el logaritmo es aditivo
$$ S(E) = S_1(E_1) + S_2(E-E_1)$$
Ahora te preguntarás, ¿cuál es la condición que $S(E)$ es máxima? Esto determina cuando se alcance el equilibrio. La condición es que
$$ {\partial S \over \partial E_1} = 0 = S'(E_1) - S'(E-E_1)$$
De modo que la condición de equilibrio es que la derivada de la entropía con respecto a la energía de los dos sistemas deben ser iguales.
Podemos definir la temperatura termodinámica a ser el recíproco de este derivado, y uno llega a la conclusión de que los dos sistemas están a la misma temperatura, por lo que en el equilibrio térmico, cuando la tasa de aumento de la entropía con la energía es igual para los dos.
Luego se preguntan, ¿qué es el cambio en la entropía en un sistema cuando se agrega una cantidad de energía dQ para el sistema? Por la definición de la derivada, es
$$ {\partial S\over \partial E} dQ = {dQ\over T} $$
No hay nada más que eso. El problema es asegurarse de que la termodinámica concepto es idéntico al concepto intuitivo de la temperatura, y para esto ayuda a comprobar que para un gas ideal, la temperatura termodinámica es (hasta un constante universal) el producto de la presión y el volumen dividido por el número de partículas en el gas. Para comprobar esto, usted puede contar el microstates, y se diferencian.
