La motivación esencial para transformación para el impulso de espacio es que la traducción de la invariancia de la dinámica y del vacío del estado requiere que el 2-punto Vacío de la Expectativa de Valor de la diagonal en el impulso de la variable. Por lo tanto, para el campo libre tenemos
$$\left<0\right|\hat\phi(x)\hat\phi(y)\left|0\right>=G(x-y),$$ for some function $G(x-y)$ of the separation $x-y$, where the Fourier transform of this is $$\tilde G(k)=2\pi\delta(k^2-m^2)\theta(k_0).$$
$G$ tiene que ser una función de la $x-y$, no de $x$ $y$ por separado, para que sea la traducción invariante.
En contraste, en el espacio real,
$$G(x-y)=\int 2\pi\delta(k^2-m^2)\theta(k_0)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k\cdot(x-y)}\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4},$$
manifiestamente no diagonal de la $x$ $y$ "índices".
Si uno considera que las dos "vectores" en el espacio de los operadores, $\hat\phi_f=\int\hat\phi(x)f(x)\mathrm{d}^4x$ y un definido de manera similar $\hat\phi_g=\int\hat\phi(y)g(y)\mathrm{d}^4y$, en el $f$ $g$ "direcciones", se obtiene
$$\left<0\right|\hat\phi_f^\dagger\hat\phi_g\left|0\right>=\int f^*(x) G(x-y)g(y)\mathrm{d}^4x\mathrm{d}^4y=\int \tilde f^*(k)\tilde G(k)\tilde g(k)\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4},$$
que esperemos que deja en claro la Hermitian estructura del producto interior esta nos da.
Otro hecho que es de vital importancia para la estructura de espacio de Hilbert, se manifiestan en el espacio de Fourier de la presentación, que la función de $G(x-y)$ es positivo semi-definido en la transformada de Fourier de las coordenadas (y, por tanto, es positivo semi-definitivo, pero no en diagonal, en todas las coordenadas).
De trabajo en las correspondientes coordenadas, como siempre hace los cálculos más compacto, y mantiene los cálculos relativamente más cerca de la estructura conceptual subyacente, pero se puede usar cualquiera de las coordenadas que a uno le gusta, o, mejor, que uno puede justificar el uso de.
