Encontrar el coeficiente de $x^{100}$ en la expansión de series de potencias de $\frac{1}{(1-x)(1-2x)(1-3x)}$

Question

Estoy tratando de encontrar al coeficiente de $x^{100}$ $$\sum_{n=0}^{∞}a_n x^{n}\ =\frac{1}{(1-x)(1-2x)(1-3x)}.$ $ usé la suma: $$\frac{1}{1-x}\ = 1+x+x^2+\ldots.$ $ así: $$ \frac{1}{(1-x)(1-2x)(1-3x)} = \left(1+x+x^2+\ldots\right)\left(1+2x+(2x)^2+\ldots\right)\left(1+3x+(3x)^2+\ldots\right). $$ Pero multiplicando a la derecha para extraer el coeficiente $x^{100}$ es tedioso. ¿Alguna idea de cómo puedo obtener el coeficiente de una manera más simple?

Saludos

Answer 1

Utilizar fracciones parciales: $$\frac{1}{(1-x)(1-2x)(1-3x)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-x} - 4 \cdot \frac{1}{1-2x} + \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{1-3x}.$ $