Definición 1. Dado $x \in \Bbb{R}$, la algebraica de grado de $x$ es el grado del polinomio mínimo de a$x$$\Bbb{Q}$. Si $x$ es trascendental, vamos a definir sus algebraica de grado a se $\infty$.
Definición 2. Dado $x \in \Bbb{R}$, la aproximación racional grado de $x$ es el siguiente número: $$\mu(x) := \sup \left\{ \mu > 0 : \mbox{There are infinitely many solutions to } \left| x - \frac p q \right| \le \frac 1 {q^\mu} \mbox{, with } p, q \in \Bbb{Z} \right\}$$
Observar que todos los números racionales tienen el menor posible algebraica de grado, $1$, a pesar de tener el mayor número posible de aproximación racional grado, $\infty$.
Echando un vistazo a los números irracionales, la primera definición puede ser visto como una expresión algebraica de la complejidad. La mayor algebraica de grado, el "más difícil" es para describir el número con los números racionales.
Del mismo modo, la segunda definición puede ser visto como un (descendente) Diophantine complejidad. El menor es el grado de aproximación es, cuanto más lejos, este número es el de los racionales.
Esta intuición se bloquea cuando uno se entera de la verdadera naturaleza de los números irracionales. Los números de Liouville - números irracionales con infinita aproximación grado - no son algebraicamente cerca racionales a todos; todos ellos son trascendentales! En el otro extremo del espectro, el más simple de los números irracionales - los algebraico de grado $2$ - son fácilmente demostrado tener la peor posible racional aproximación grado, $2$; de hecho, por el Thue-Siegel-teorema de Roth, la aproximación racional grado siempre es $2$ para algebraica de los números de cualquier grado.
¿Por qué es la complejidad algebraica de un número irracional el opuesto de su Diophantine complejidad?
Sé cómo demostrar a todos los de arriba (bueno, excepto el Thue-Siegel-teorema de Roth), pero no entiendo la razón profunda de por qué es cierto.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Me niego a que la complejidad algebraica de un número irracional es el opuesto de su Diophantine complejidad.
Si el irracional es algebraica, entonces (como se nota) su Diophantine complejidad es $2$, independientemente de su grado.
Si el irracional es trascendental (por lo tanto, de infinita complejidad algebraica), su aproximación racional de grado puede ser cualquier cosa, desde el 2 hasta el infinito.
No veo donde uno es el opuesto de la otra.
EDIT: Salvo un conjunto de medida cero, todos los reales han racional aproximación grado $2$ (o lo podemos llamar Diophantine la complejidad de la $2$). Por lo tanto, Diophantine complejidad no sirven para distinguir algebraics de trascendentales; más bien, lo que distingue a un muy delgada subconjunto de los trascendentales de todo el resto de los trascendentales (y la algebraics). Así que me parece que las preguntas que uno podría desear contestado, 1) ¿por qué todos los algebraicas irrationals han Diophantine la complejidad de la $2$, y 2) ¿por qué hacer un par de trascendentales han Diophantine complejidad superior a $2$.
Para la primera pregunta, me temo que no conozco a ninguna "razón profunda", aparte de la Thue-Siegel-Roth Teorema dice que es así. Yo podría murmuró algo sobre algebraicas irrationals "repeler" racionales, pero no suenan muy convincentes para alguien que ya no está convencido.
Para la segunda pregunta, es fácil ver que hay irrationals que son inusualmente bien aproximada por racionales --- acaba de tomar algunos decimales con cadenas de ceros del rápido aumento de la longitud. La parte difícil es ver que todos están trascendental --- pero entonces estamos de vuelta a Thue-Siegel-Roth de nuevo.
Como un aparte, que generalmente se pide que las aproximaciones racionales en términos mínimos. Con ese convenio, racionales tienen el más bajo posible racional aproximación grado, es decir,$1$. Racionales ciertamente se repelen el uno al otro.
