¿Cómo encontrar el polinomio mínimo y la matriz explícita para las siguientes condiciones?

Question

Se me da una matriz $A \in M(6\times6, \mathbb{R})$ tal que $AA^T=A^TA$ (normal) y $P_A(t)=t^6-3t^2+2=(t-1)^2(t+1)^2(t^2+2)$, y la tarea es encontrar el polinomio minimal y la matriz en sí.

Como vi, al calcular el polinomio minimal es habitual encontrar el polinomio característico y luego reducir las potencias de los factores y ver qué sucede en este caso con la matriz, pero ahora no se me da una matriz, por lo que supongo que aquí entra en juego la normalidad de la matriz, pero no veo cómo.

Agradecería cualquier tipo de ayuda, gracias de antemano.

Answer 1

$A$ es normal. Entonces, es ortogonalmente similar a su _forma canónica de Jordan real_ sobre $\mathbb{R}$. Es decir, $$ A=Q\pmatrix{I_2\\ &-I_2\\ &&0&-\sqrt{2}\\ &&\sqrt{2}&0}Q^T $$ para algún $Q$ real ortogonal y el polinomio minimal de $A$ es $(t-1)(t+1)(t^2+2)$.