Localización de un divisor en un esquema

Question

Fijar un esquema integral noetheriano separado $X$ que es regular en codimensión 1, entonces sea $D\in\operatorname{Div}X$ sea cualquier divisor, entonces Hartshorne afirma que para cualquier punto $x\in X$ podemos localizar el divisor $D$ para obtener algún divisor $D_x\in\operatorname{Div}\operatorname{Spec}\mathscr{O}_{X,x}$ de forma natural (presumiblemente lineal, y posiblemente suryectiva). ¿Pero cómo podemos hacerlo? No veo ninguna conexión suficientemente clara entre $\operatorname{Spec}\mathscr{O}_{X,x}$ y $X$ para obtener dicho mapa.

Answer 1

Esta breve respuesta quiere ampliar el comentario de Kenny Wong. En Hartshorne, un divisor de Weil es una suma formal de subesquemas irreducibles de codimensión uno. Entonces, la cuestión se reduce a cómo localizar estos últimos.

Ahora, arregla $U=\mathrm{Spec}(A)$ es un conjunto abierto afín que contiene $x$ . Si un subesquema irreducible de codimensión uno está contenido en $X \setminus U$ declaramos su localización en $x$ sea cero. Si no está contenido en $X \setminus U$ corresponde a algún ideal primo $\mathfrak{p} \subset A$ .

Ahora, dejemos que $\mathfrak{q} \subset A$ sea el ideal primo correspondiente al punto $x$ . En particular, tenemos $A_\mathfrak{q} \cong \mathcal{O}_{X,x}$ . Declaramos la restricción del divisor correspondiente a $\mathfrak{p}$ sea el ideal primo $\mathfrak{p}\cdot A_\mathfrak{q} \subset A_\mathfrak{q}$ .

Se puede demostrar que este procedimiento no depende de la elección de $U =\mathrm{Spec}(A)$ . Además, por esta construcción, se ve que los divisores primos de Weil $D$ tal que $x \not \in D$ son exactamente aquellas cuya localización en $\mathcal{O}_{X,x}$ es cero.