¿Deberíamos redefinir Sine?

Question

El seno es generalmente definido como el cociente del lado opuesto a un ángulo de la hipotenusa en un triángulo de ángulo recto. Otra definición común se basa en el círculo unidad. Sin embargo creo que estas definiciones geométricas pueden llevar a la confusión y el error. Me he estado preguntando acerca de esto por un tiempo, así que ahora estoy trayendo algunas de las razones se argumentan y quiero saber si esta enseñó que es correcto o no.

Aquí está la confusión que esta definición causas: Cuando se toman movimiento oscilatorio de las lecciones, los estudiantes son informados sobre las Ecuaciones Diferenciales. La primera ecuación que aprenden es $$\frac{d^2y}{dx^2}+ky=0$$

Entonces la solución para que se escribe como $y=A\sin(\sqrt{k}x+\phi)$ y las preguntas empiezan a plantear: "¿Dónde fue que sinusoidal?!". La típica respuesta sería: "a Ver, si se toma la derivada segunda y poner, satisface la ecuación". "Sí, es verdad, pero... ¿dónde está el círculo? Donde es el ángulo? Sólo hay un objeto conectado a un resorte". Y así, muchos estudiantes tienen problemas.

Esta confusión se produce porque, cuando se definió por primera vez la función seno para ellos, había un círculo, y el argumento era un ángulo y así sucesivamente. No es de extrañar si los menos curiosos estudiantes a aceptar este fenómeno (que un objeto conectado a un resorte se mueve como función seno) como un accidente o algo así y de paso. Para solucionar esto, estoy sugiriendo una re-definición. Podemos definir sinusoidal como la respuesta a La $y''+ay=0$ considerando los $y(0)=0$$y'(0)=1$. Se puede demostrar (con un poco de esfuerzo) que el opuesto/hipotenusa relación también obedece a la misma ecuación diferencial por [el nuevo] definición, esta relación sería igual al seno del ángulo. Esto debería resolver los problemas que se discutieron anteriormente. Otro tema interesante es la pi, la cual está relacionada a esta discusión. Creo que me puede convencer de que la pi puede ser bastante confuso:

Un día, mirando las fórmulas en algún libro o en otros, he descubierto un la fórmula para la frecuencia de un circuito resonante. No era un misterio acerca de este número que yo no entendía como un joven, pero este era un gran cosa, y el resultado que yo buscaba pi en todas partes.

[??Algo que falta aquí] que era f = 1/2 pi LC, donde L es la inductancia y C es la capacitancia de la [condensador, y no fue también un pi. Pero, ¿dónde está el círculo? Usted se ríe, pero yo estaba muy grave entonces. Pi era una cosa con círculos, y aquí es pi saliendo de una circuito eléctrico. Dónde estaba el círculo? Hacer aquellos de ustedes que se reía sabéis cómo viene? Tengo el amor de la cosa. Tengo que buscar por ello. Tengo que pensar sobre ello. Y entonces me di cuenta, por supuesto, que las bobinas están hechas en círculos. Alrededor de un año y medio más tarde, me encontré con otro libro que dio la inductancia de la ronda de las bobinas y de la plaza bobinas, y que había otros de pi en las fórmulas. Comencé a pensar sobre ella de nuevo, y me di cuenta de que la pi no provienen de la bobinas circulares. Yo lo entiendo mejor ahora; pero en mi corazón todavía me no sé de dónde círculo, donde pi viene.

Richard Feynman – "¿Qué es la ciencia?"

Otro ejemplo de la famosa artículo:

HAY UNA historia acerca de dos amigos, que eran compañeros de clase en alto la escuela, hablando de sus trabajos. Uno de ellos se convirtió en un estadístico y estaba trabajando en las tendencias de la población. Él mostró una reimpresión a su antiguo compañero de clase. La reimpresión, comenzó, como de costumbre, con el Gaussiano la distribución y el estadístico explicó a su antiguo compañero de clase el significado de los símbolos de la población real, para el promedio de de la población, y así sucesivamente. Su compañero era un poco incrédula y no fue muy seguro de si el estadístico fue tirando de su pierna. "¿Cómo se puede saben que?", era su consulta. "¿Y cuál es este símbolo aquí?" "Oh", dijo el estadístico "este es pi." "¿Qué es eso?" "La relación de la la circunferencia del círculo a su diámetro." "Bien, ahora que se empujando su broma demasiado lejos", dijo el compañero de clase, "seguramente la población no tiene nada que ver con la circunferencia del círculo."

Naturalmente, estamos inclinados a la sonrisa sobre la sencillez de la compañero de clase de enfoque. Sin embargo, cuando me enteré de esta historia, tuve que admitir a un misterioso sentimiento, porque, sin duda, la reacción de la compañero de clase traicionado sólo sentido común. Yo estaba aún más confundido cuando, dentro de no muchos días después, alguien se me acercó y me expresó su el desconcierto [1 La observación para ser citado fue realizado por F. Werner, cuando él era un estudiante en Princeton.] con el hecho de que hacemos una vez estrecho de selección al elegir los datos en los que ponemos a prueba nuestras teorías. "¿Cómo sabemos que, si hacemos una teoría que se centra su atención en los fenómenos hacemos caso omiso y se descarta que algunos de los fenómenos que ahora al mando de nuestra atención, que no podríamos construir otra teoría que tiene poco en común con la actual, pero que, sin embargo, explica como muchos fenómenos como la teoría actual?" Tiene que ser admitió que no tenemos pruebas definitivas de que no hay tal de la teoría. Las anteriores dos historias ilustran los dos puntos principales que son los temas de la presente discurso. El primer punto es que los conceptos matemáticos se convierten en totalmente conexiones inesperadas. Por otra parte, que a menudo permiten una inesperada cercana y precisa descripción de los fenómenos en estas conexiones. En segundo lugar, ...

Eugene Wigner – "La Irrazonable Efectividad de las Matemáticas en la Ciencias Naturales"

Así que después de todas estas historias de las grandes mentes, podemos ver que las mentes curiosas tienen dificultades para relacionarse pi a ecuaciones que no implican un círculo. Pero si por el contrario nos define pi como la mitad de la función seno período (nueva definición), entonces el uso de la pi en ausencia de círculos y triángulos, no sería una sorpresa.

Al final de este largo post, quiero pedir opiniones. Me pregunto si todo lo que he dicho anteriormente tiene sentido o no? La matemática es un área precisa y definiciones de todo, así que creo que lo que estoy pidiendo aquí es una pregunta importante.

Edit: Un par de amigos que están aquí han marcado esto como "una Opinión". Gracias por leer mi pregunta, pero yo realmente no veo cómo puede una definición de ser "Basado en la Opinión", en una precisa campo como el de las matemáticas. Así que la única manera en que puedo imaginar es que los dos sean "equivalentes", que es lo que estoy de alguna manera de conclusión a partir de las respuestas, pero sigue buscando una prueba clara de que el punto que no veo aquí.

Answer 1

El sentido geométrico de $\pi$ $\sin$ es realmente no es que lejos de los otros ejemplos. En el caso de las de segundo orden de la ecuación diferencial $y'' + y = 0$, esto, naturalmente, se transforma para el sistema de primer orden $$ \eqalign{y' = v\cr v' = -y\cr}$$ Ahora note que $y^2 + v^2$ es un invariante para este sistema: $$\dfrac{d}{dt} (y^2 + v^2) = 2 y v - 2 v y = 0$$ Por lo tanto, las trayectorias del sistema son los círculos en el $y-v$ plano, y que conduce a $\sin$$\cos$.

En el caso de la distribución normal, la normalización de factor de $1/\sqrt{2\pi}$ viene de la integral impropia

$$ J = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\; dx = \sqrt{2\pi}$$

El estándar truco para esto es ir a una integral doble

$$ J^2 = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2} e^{-y^2/2}\; dx\; dy = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)/2} \; dx\; dy$$

y vaya a coordenadas polares: aquí vienen los círculos de nuevo!

$$ J^2 = \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-r^2/2} r \; d\theta \; dr = 2\pi$$

Sí, es un truco, pero yo podría decir que la razón fundamental de que esto funciona es que la densidad conjunta de dos independientes aleatoria normal estándar de las variables es invariante bajo rotaciones. Así que, de nuevo, la geometría es la que hay detrás de las escenas.

Answer 2

Que $y''=-y$ está satisfecho por el seno y el coseno viene geométricamente por el hecho de que algo de rotación alrededor del círculo unidad en unidad de velocidad (algo en$(\cos t,\sin t)$, por definición) ha vector de aceleración apunta hacia el centro del círculo, que es el negativo del vector de posición. Por este razonamiento, creo que no es demasiado extraño que el seno aparece a la hora de resolver similar ecuaciones diferenciales.

Dicho esto, si usted tiene los teoremas acerca de las ecuaciones diferenciales, entonces es sin duda muy bien el uso de un valor inicial del problema a (re)definir el seno.

Answer 3

De comenzar su pregunta con:

El seno es generalmente definido como el cociente del lado opuesto a un ángulo de la hipotenusa en un triángulo de ángulo recto. Otra definición común se basa en el círculo unidad.

Este principio es el problema con tu pregunta, ya que el seno y el coseno son definidos como dices sólo en la escuela intermedia y secundaria. Matemáticas los estudiantes se les enseña que la serie $\sum \limits _{n \ge 0} (-1)^n \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)!}$ $\sum \limits _{n \ge 0} (-1)^n \frac {x^{2n}} {(2n)!}$ convergen en $\Bbb R$ absoluta y uniformemente. Sus respectivas sumas son llamados, por definición, $\sin x$ y $\cos x$. $\pi$ se define como el más pequeño distinto de cero raíz de $\sin$. Alternativamente, uno puede mostrar que $\sin$ $\cos$ como se definió anteriormente son periódicas, con el mismo período; se define a $\pi$ como la mitad de este período.

No hay nada a redefinir, a continuación,. Acaban de descubrir lo que ya era conocida, pero en un poco más complicado contexto (porque la serie son conceptualmente más simple que el de ecuaciones diferenciales - este, a su vez, debido a que la serie se acaba de secuencias y secuencias son conceptualmente más elementales de cálculo diferencial). Así que ¿por qué usamos las definiciones de $\sin$ $\cos$ a partir de la geometría Euclidiana? Bien, ¿parece razonable introducir las anteriores nociones acerca de la serie a la gente en la escuela intermedia?