Si $X_1, \ldots, X_n$ son una colección de codimensión $\geq 2$ subvariedades de $P^n$ ¿existe una variedad irreducible que los contenga?

Question

Si $X_1, \ldots, X_n$ son una colección de codimensión $\geq 2$ subvariedades de $P^n$ ¿existe una hipersuperficie irreducible que las contenga?

Me conformaría con una respuesta a : si $x_1, \ldots, x_n$ son puntos en el plano $P^2$ ¿existe una curva irreducible que los contenga a todos? Bien, esto fue respondido en su mayor parte a continuación. ¿Hay alguna técnica general que funcione para mi pregunta original?

El recuento de dimensiones no parece dar una respuesta porque ser irreducible es una condición abierta que no sé cómo estudiar utilizando una correspondencia de incidencia.

Answer 1

Supongo que está trabajando sobre $\mathbb{C}$ .

Respuesta parcial: Supongamos que sus puntos pueden ser mapeados en $U_0=\{[1,y,z]\in \mathbb{P}^2\}\subset \mathbb{P}^2 $ por $Aut(\mathbb{P}^2)={PGL}_3(\mathbb{C})$ . Diga $X_i=[1,y_i,z_i]\in U_0$ son imágenes de sus puntos. Además, podemos girar $U_0$ mientras que la fijación de $[*,*,0]$ . WLOG, podemos suponer que $y_i$ son distintos. Entonces existe un polinomio $f$ s.t. $f(y_i)=z_i$ para todos $i$ . Como resultado, $z-f(y)$ es un polinomio irreducible en $R[y,z]$ . Podemos homogeneizar para obtener $a(x,y,z)=$ numerador de ( $z/x-f(y/x)=a(x,y,z)/b(x,y,z)$ ), donde $a,b$ son relativamente primos en $\mathbb{C}[x,y,z]$ . Entonces $a(x,y,z)$ es un polinomio homogéneo irreducible que corta una curva en $\mathbb{P}^2$ y pasando por $X_i$ .

Si sus puntos no pueden ser mapeados en $U_0$ Sospecho que podemos hacer algo similar, pero no lo he descubierto.