Límite para la suma de distribuciones normales

Question

Me he encontrado con un ejercicio que me ha dejado bastante perplejo. ¿Quizás alguien pueda ayudarme? A ver $(X_n)_n$ sea $N(-a,1)$ variables aleatorias independientes distribuidas donde $a>0$ . Necesito probar $$P(\sup_{n \in \mathbb N} S_n > x)\leq e^{-2ax}$$ donde $S_n= \sum_{k=1}^n X_k$ . Estoy tentado de utilizar la desigualdad de Markov, pero el supremum me irrita. ¿Puedo utilizar de alguna manera que $e^{h S_n}$ es una Martingala si $h=2a$ que he demostrado en la primera parte del ejercicio?

Answer 1

Desde $e^{2aS_n}$ es una martingala, por la desigualdad martingala de Doob, para cualquier $N$ tienes

$$P \left (\sup_{n \leq N} e^{2aS_n}>e^{2ax} \right ) \leq \frac{E[e^{2aS_N}]}{e^{2ax}}.$$

Pero $e^{2aS_n}$ es una martingala, por lo que su expectativa es fija, igual a $E[e^{2aX_1}]$ . Se trata de la expectativa de una v.r. lognormal en la que la v.r. normal subyacente tiene media $-2a^2$ y varianza $4a^2$ . Por tanto, su expectativa es $e^{-2a^2+(4a^2)/2}=1$ que da el resultado hasta $N$ . Enviar $N \to \infty$ en ambos lados para obtener el resultado deseado.