Me he encontrado con un ejercicio que me ha dejado bastante perplejo. ¿Quizás alguien pueda ayudarme? A ver $(X_n)_n $ sea $N(-a,1)$ variables aleatorias independientes distribuidas donde $a>0$ . Necesito probar $$P(\sup_{n \in \mathbb N} S_n > x)\leq e^{-2ax}$$ donde $S_n= \sum_{k=1}^n X_k$ . Estoy tentado de utilizar la desigualdad de Markov, pero el supremum me irrita. ¿Puedo utilizar de alguna manera que $e^{h S_n}$ es una Martingala si $h=2a$ que he demostrado en la primera parte del ejercicio?
Respuesta
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Desde $e^{2aS_n}$ es una martingala, por la desigualdad martingala de Doob, para cualquier $N$ tienes
$$P \left (\sup_{n \leq N} e^{2aS_n}>e^{2ax} \right ) \leq \frac{E[e^{2aS_N}]}{e^{2ax}}.$$
Pero $e^{2aS_n}$ es una martingala, por lo que su expectativa es fija, igual a $E[e^{2aX_1}]$ . Se trata de la expectativa de una v.r. lognormal en la que la v.r. normal subyacente tiene media $-2a^2$ y varianza $4a^2$ . Por tanto, su expectativa es $e^{-2a^2+(4a^2)/2}=1$ que da el resultado hasta $N$ . Enviar $N \to \infty$ en ambos lados para obtener el resultado deseado.
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X>0 por cierto.
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¿No es la desigualdad de Doob, o algo muy parecido? (La cuestión es que $S_n$ es un supermartingale).
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Sí, si sustituyes el supremum por un máximo finito es bastante parecido. Pero la versión que conozco da un límite de la forma $\frac {E[(X_n^+)^p]}{x^p}$ . No sé si esto es útil...
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Bueno, ya sabes la distribución de $X_n^+$ ¿No?
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¿Para poder calcular la expectativa? Pero, ¿qué ocurre con la $x$ ¿en el fondo?
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La expectativa no depende de $x$ por lo que la dependencia de $x$ es totalmente a través del denominador. (Dicho esto, veo un problema: en el mejor de los casos, esto le dirá que la expectativa es menor que $C_p x^{-p}$ que no da un límite exponencial por sí mismo).
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Sí, ese es precisamente mi problema. Suponiendo que pueda calcular la expectativa (que no estoy seguro de que pueda porque la distribución normal es muy rara cuando se trata de partes positivas...) dependerá totalmente de a. Pero habrá un $x$ en el denominador, lo que no es deseable si he entendido bien la pregunta?
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En $x$ en el denominador hace que el límite se comporte cualitativamente pero no cuantitativamente como se desea ya que $x \to \infty$ .
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Ah, quizás aquí esté el truco: $S_n+na$ es una martingala, por lo que $\exp(S_n+na)$ es un submartingale no negativo. Ahora se puede imitar es.wikipedia.org/wiki/
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¡Sí, eso es útil! Si lo uso $e^{2a S_n}$ ¡es una Martingala con expectativa uno esto debe hacer el truco! ¡Voy a probar esto en un par de gracias!