Cómo calcular $\mathbb E(Y\mid\min(Y,t))$ si $P(Y>t)=e^{-t}$ para $t>0$ ?
¿Tengo que utilizar Bayes? Quiero decir que la expectativa debe dar una función de $\min(Y,t)$ y $\mathbb E(\min(Y,t)\mid Y)=Y\mathbf 1_{Y\le t}+t\mathbf 1_{t\le Y}$ ¿o está completamente equivocado?
Por lo tanto, llame a $\min(Y,t) = y$ .
Si $y < t$ esto implica que $Y = y$ así que en este caso $E[Y \mid \min(Y,t) = y] = y$
Si en cambio $y \ge t$ sólo se puede concluir que $Y \ge t$ para que obtengas
$$E[Y \mid \min(Y,t) = t] = E_Q[Y]$$
donde $Q$ se define como $\displaystyle Q(A) = P(A \mid Y \ge t) = \frac{P(A \cap \{Y \ge t\})}{P(Y \ge t)} $ .
Por lo tanto
$$E_Q[Y] = \frac 1{\int_t^\infty e^{-s}ds} \int_t^\infty se^{-s}ds = \frac 1{e^{-t}}\int_t^\infty se^{-s}ds = t + 1$$
En resumen
$$E[Y \mid \min(Y,t)] = \begin{cases} \min(Y,t) & \text{if $\min(Y,t)< t$} \\ t + 1 & \text{otherwise}\end{cases}$$
o $$E[Y \mid \min(Y,t)] = \min(Y,t)1_{\min(Y,t) < t} + (t+1)1_{\min(Y,t) \ge t}$$
si quiere también puede decir que como $\min(Y,t) < t \implies \min(Y,t) = Y$ entonces
$$E[Y \mid \min(Y,t)] = Y1_{Y < t} + (t+1)1_{Y \ge t}$$
que es un poco raro, porque sólo se le da $\min(Y,t)$ no $Y$ . Está claro que es lo mismo, ¡pero deberías tenerlo en cuenta!
Otra forma de escribirlo, probablemente más elegante, es $$E[Y \mid \min(Y,t) ] = \min(Y, t) + 1_{\min(Y,t) \ge t} = \min(Y, t) + 1_{\min(Y,t) = t}$$
En cualquier caso, depende de lo que busques.
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Sea $Z=\min(Y,t)$ . No veo cómo $E(Z\mid Y)$ es relevante para calcular $E(Y\mid Z)$ ... Pero de todos modos, $E(Y\mid Z)=Z$ en $[Z<t]=[Y<t]$ y $E(Y\mid Z)=E(Y\mid A)$ en $A=[Z=t]=[Y\geqslant t]$ . ¿Puede calcular $E(Y\mid A)$ ?
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@Did I got $e^{-t}(t+1)$
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No. Ejercicio: Sea $X$ denotan una variable aleatoria y $B$ un acontecimiento tal que $X\geqslant x$ casi seguro que en $B$ . Demuestre que $E(X\mid B)\geqslant x$ . A continuación, aplíquelo al resultado sugerido.