Si $E\subseteq \mathbb{R}$ es medible y $\delta>0$ entonces existe un conjunto abierto $U$ s.t. $\delta \mu(U)<\mu(E)$

Question

En parte de la demostración de un problema que estoy intentando resolver necesito el siguiente hecho (supongamos que $\mu$ es la medida de Lebesgue):

Si $E\subseteq \mathbb{R}$ es medible y $\delta>0$ entonces existe un conjunto abierto $U\subseteq \mathbb{R}$ tal que $E\subseteq U$ y $\,$ $\delta \mu(U)<\mu(E)$ .

Sé y he comprobado el siguiente hecho:

Supongamos que $E \subseteq \mathbb{R}$ . A continuación, para cada $\epsilon>0$ existe un conjunto abierto $U\subseteq \mathbb{R}$ tal que $E\subseteq U$ y $\mu(U)< \mu(E)+\epsilon$ .

Estoy bastante seguro de que puedo utilizar el segundo hecho para demostrar el primer hecho, pero sigo recibiendo un valor de $\epsilon$ es decir, en términos de $\mu(U)$ lo que no es bueno porque $U$ debe depender de $\epsilon$ y no al revés. ¿Algo de ayuda?

Answer 1

Permítanme ampliar el comentario de Ian.

En primer lugar, la desigualdad sólo puede cumplirse para $\delta<1$ . Por ejemplo, si $E=[0,1]$ y $\delta\geq1$ nunca existe tal $U$ . Pero la afirmación es cierta para todos $\delta\in (0,1)$ .

Tome cualquier $\delta$ y trabajar hacia atrás: Quieres $\delta \mu(U)< \mu(E)$ . Es decir, usted quiere $$\mu(U) < \delta^{-1} \mu(E) = \mu(E) + (\delta^{-1}-1)\mu(E). $$ Ahora toma $\epsilon=(\delta^{-1}-1) \mu(E)$ en su lema. Entonces $\mu (U)<\mu (E)+\epsilon $ para alguna $U \supset E$ . Dado que esta es la estimación que desea, $U $ es el conjunto que desea.