En el integral $\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx$

Question

Es fácil mostrar a través de la sustitución de $x = \sin\varphi$ que la integral

$$\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\ dx = \frac \pi 4.$$

He intentado esta integral de empleo de la hiperbólico la sustitución de $x = \sinh\varphi,$ lo que provocó la integral $$\int_{x = 0}^{x = 1}\operatorname{sech}\varphi \ d\varphi,$$ which after evaluating and inputting $x$, me parece

$$\int_{x = 0}^{x = 1}\operatorname{sech}\varphi \ d\varphi = \ln \left| \frac{3\pm\sqrt{2} - \frac 1 {1\pm\sqrt{2}}}{1\pm\sqrt{2} + \frac{1}{1\pm\sqrt{2}}} \cdot\frac{1\pm1}{2}\right|.$$

Para evitar un infinito respuesta, aprovecho la solución positiva, produciendo

$$\int_{x=0}^{x=1}\operatorname{sech}\varphi\ d\varphi = \ln \left( \sqrt 2 \right).$$

Claramente

$$\frac \pi 4 \neq \ln\left(\sqrt 2 \right).$$

Confío en mi álgebra en la obtención de este resultado (a pesar de que sin duda puede incluir todas mis pasos si es necesario). Por lo tanto, yo soy curioso en cuanto a por qué el hiperbólico de sustitución no produce la respuesta apropiada.

Answer 1

ps

Answer 2

$x = \sinh \varphi$ significa $\varphi = \log\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$. Por lo tanto cuando $x$ varía entre $0$ y $1$, $\varphi$ varía entre $0$y $\log(1+\sqrt 2)$.

Por lo tanto,

$$\int_0^1 \frac 1 {1+x^2} \, dx = \int_0^{\log(1+\sqrt 2)}\operatorname{sech} \varphi \, d \varphi = \left[ 2 \arctan \left(e^\varphi\right) \vphantom{\frac11} \right]_0^{\log \left(1+\sqrt 2\right)} = \frac \pi 4 $$