Este es un aspecto muy importante de la construcción en álgebra lineal. Dado un conjunto $S$ y un campo de $\Bbb F$ podemos considerar todas las funciones $f : S \to \Bbb F$ tal que $f(x) = 0$ menos que en finetely muchos puntos de $S$. Una función como la que se dice finito de apoyo. Si definimos la suma y la multiplicación por escalares pointwise, entonces el conjunto de todas estas funciones forman un espacio vectorial. Todos los axiomas son extremadamente satisfecho, el único que puede ser complicado es el axioma de clausura. Nos deja denotar este conjunto $F(S)$ (voy a cambiar la notación para el conjunto), y vamos a tratar de demostrar que con estas operaciones $F(S)$ es cerrado bajo las combinaciones lineales.
Para el caso, considere la posibilidad de $f_1, f_2 \in F(S)$$\lambda_1, \lambda_2 \in \Bbb F$. Entonces, queremos mostrar que tenemos $\lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2 \in F(S)$. La idea es: existe un subconjunto finito $S_1 \subset S$ tal que $f_1$ es distinto de cero sólo hay, y hay un conjunto finito $S_2 \subset S$ tal que $f_2$ es distinto de cero sólo allí. El único lugar en $S$ donde $\lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2$ puede ser distinto de cero está dentro de $S_1 \cup S_2$, porque fuera de que ambas funciones son ambos cero. Pero esta es una unión de dos conjuntos finitos, por lo tanto, finito, y por lo que la combinación lineal es también en $F(S)$.
Ahora, solo para darle una idea de la importancia de que, considere la posibilidad de $\delta_a \in F(S)$ la función definida por:
$$\delta_a(x) = \begin{cases}1, & x=a \\ 0, & x\neq a\end{cases}$$
Esta función indica si el punto de $x$ $a$ o no. Si tenemos en cuenta $i : S \to F(S)$ $i(a) = \delta_a$ el conjunto $i(S)$ será una base para $F(S)$ (trate de probar esto). Desde $\delta_a$ indica que si un punto es o no $a$, podemos decir que el $\delta_a$ representa a $a$ dentro de $F(S)$. En ese caso, vamos a tener una base que intuitivamente podemos pensar como formado por los elementos de la $S$. Así, cuando tenemos algún conjunto arbitrario, siempre podemos construir un espacio vectorial de lo que intuitivamente se tiene el conjunto de $S$ como base, y llamamos a este espacio vectorial del vector libre del espacio en términos de $S$ y denota $F(S)$.
Edit: he definir la suma y la multiplicación por escalares pointwise. Bueno, este es un término que se utiliza para la definición más común de estas operaciones. Simplemente establece:
$$(f+g)(x)=f(x)+g(x) \quad \forall x \in S$$
$$(\lambda f)(x) = \lambda f(x) \quad \forall x \in S$$
Cada vez que alguna operación se define como la que podemos decir que es definido pointwise.
