Contando el número de elementos en el conjunto de $\{ x^{13n}:n \mbox{ is a positive integer}\}$ bajo ciertas condiciones

Question

Un grupo cíclico de orden $15$ tiene un elemento $x$ tal que el conjunto de ${x^3,x^5,x^9 }$ tiene exactamente dos elementos. ¿Cuántos elementos están en el conjunto de ${ x^{13n}:n \mbox{ is a positive integer}}$?

Me siento como cierta forma de $\textbf{gcd}$ o $\textbf{lcm}$ participa, pero puedo equivocarme. Cualquier tipo de sugerencias será apreciada grandemente.

Answer 1

Sugerencias: El grupo es cíclica, y de la orden de $15$. Tenga en cuenta que uno de $x^3,x^5,x^9$ es distinta de las otras dos, así que ciertamente no puede tener $x=e$.

Si $x^3=x^9,$$x^6=e$, pero el orden de $x$ debe dividir el orden del grupo (y también se dividen $6$, en este caso), y por lo tanto el orden de $x$$3$.

Muestran que los otros dos casos son imposibles.

Por lo tanto, $x$ orden $3.$ ¿Qué podemos decir sobre el número de valores distintos que los poderes de $x$ puede tomar? Desde $13n$ a través de todos los rangos de valores (modulo $3$) para enteros positivos $n$, ¿qué podemos decir acerca de la cantidad de valores que se $x^{13n}$ hace tomar?