La ecuación debería ser realmente
ps
para $$\frac{1}{4\pi j} \int_{c - j\infty}^{c + j\infty} (x^{-1}\sigma \beta^{\frac{1}{2}})^s\, \Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \Gamma\left(\frac{\beta + 1}{2} - \frac{s}{2}\right)\, \mathrm{d}s = \Gamma\left(\frac{\beta + 1}{2}\right) \left[1 + \frac{1}{\beta}\left(\frac{x}{\sigma}\right)^2\right]^{-\frac{\beta + 1}{2}}$. Deje$0 < c <\beta + 1$ ser la expresión en el lado izquierdo. Entonces
\begin{align}F(x;\sigma,\beta) &= \frac{1}{2\pi j}\int_{\frac{c}{2} - j\infty}^{\frac{c}{2} + j\infty} (x^{-1}\sigma\beta^{\frac{1}{2}})^{2s}\, \Gamma(s) \Gamma\left(\frac{\beta + 1}{2} - s\right)\, \mathrm{d}s\\
&= \frac{\Gamma\left(\frac{\beta+1}{2}\right)}{2\pi j}\int_{\frac{c}{2} - j\infty}^{\frac{c}{2} + j\infty} \left[\frac{1}{\beta}\left(\frac{x}{\sigma}\right)^2\right]^{-s} B\left(s, \frac{\beta+1}{2}-s\right)\, \mathrm{d}s\\
&= \Gamma\left(\frac{\beta+1}{2}\right) \mathcal{M}^{-1}\left\{B\left(s,\frac{\beta+1}{2}-s\right)\right\}\left[\frac{1}{\beta}\left(\frac{x}{\sigma}\right)^2\right],
\end{align}
donde$F(x;\sigma,\beta)$ representa la función Beta y$B(u,v)$ representa la transfrom Mellin inversa de$\mathcal{M}^{-1}(f(s))[r]$ evaluada en$f(s)$. Ahora, para$r$,$0 < \text{Re}(s) < \frac{\beta + 1}{2}$ $
es decir,$$B\left(s,\frac{\beta+1}{2}-s\right) = \int_0^\infty \frac{r^{s-1}}{(1 + r)^{s + \left(\frac{\beta + 1}{2} - s\right)}}\, \mathrm{d}r = \int_0^\infty r^{s-1} (1 + r)^{-\frac{\beta+1}{2}}\, \mathrm{d}r,$ es la transformada de Mellin de$B\left(s, \frac{\beta+1}{2}-s\right)$ evaluada en$(1 + r)^{-\frac{\beta + 1}{2}}$. Por lo tanto,
ps
