Deje $X_i$ ser variables aleatorias iid con $EX_i = 0$$Var X_i=1$$S_n=X_1+\cdots+X_n$. A continuación, la ley del logaritmo iterado dice casi en todas partes tenemos
$$\limsup_{n\to\infty}\frac{S_n}{\sqrt{n\log{\log{n}}}} = \sqrt{2}$$
Por otro lado, el teorema del límite central dice
$$\frac{S_n}{\sqrt{n}} \to N(0,1)$$
¿Alguien puede explicar por qué dividir por un $\sqrt{\log{\log{n}}}$ debe de ir de dar $N(0,1)$ a algo limitada por la constante $\sqrt{2}$?
Para tratar de entender que yo consideraba el caso simple cuando cada una de las $X_n$$N(0,1)$, de modo que $S_n/\sqrt{n}$ también está normalmente distribuida como $N(0,1)$. A continuación, $S_n/\sqrt{n\log{\log{n}}}$ se distribuye de la $N(0,1/\log{\log{n}})$. Entonces me parece que incluso acaba de $\limsup_{n\to\infty}\frac{S_n}{\sqrt{n\log{\log{n}}}} \le \sqrt{2}$ requiere
$$\sum_{n=3}^\infty P\left(\frac{S_n}{\sqrt{n\log{\log{n}}}} > \sqrt{2}\right) < \infty$$
o si
$$\sum_{n=3}^\infty P\left(\frac{S_n}{\sqrt{n\log{\log{n}}}} > \sqrt{2}\right) = \infty$$
entonces para lograr la $\limsup_{n\to\infty}\frac{S_n}{\sqrt{n\log{\log{n}}}} \le \sqrt{2}$ los conjuntos {$ \omega : \frac{S_n}{\sqrt{n\log{\log{n}}}} > \sqrt{2}$} no se puede, por ejemplo, cubrir la probabilidad de espacio y otra vez infinitamente por siempre. No sé el valor de $\sum_{n=3}^\infty P\left(\frac{S_n}{\sqrt{n\log{\log{n}}}} > \sqrt{2}\right)$ pero dado que es la suma de la probabilidad de que se termina la cola de un montón de distribuciones normales sería de esperar que no haya forma cerrada incluso para las sumas parciales.
En la otra dirección para $\limsup_{n\to\infty}\frac{S_n}{\sqrt{n\log{\log{n}}}}$ a no tiene un valor inferior a $\sqrt{2}$ no es necesario que algo como la siguiente tiene
$$\sum_{n=3}^\infty P\left(\sqrt{2}-\epsilon < \frac{S_n}{\sqrt{n\log{\log{n}}}} \le \sqrt{2}\right) = \infty$$
¿Alguien puede explicar por qué este número $\sqrt{2}$ pop-up?
