Una pregunta sobre la derivación de la fórmula de d'Alembert del cambio de variables

Question

Supongamos que $x \in \mathbb {R}$ y $t \ge 0$ . Me piden que encuentre la fórmula de d'Alembert para la ecuación de la onda $$ \begin {cases}u_{tt}-u_{xx}=0 & \text {in } \mathbb {R} \times (0, \infty ) \\ u = g, u_t = h & \text {on } \mathbb {R} \times \{t=0\} \end {cases}$$ cambiando las variables de esta manera: $$ \xi =x+t \text { and } \eta = x-t.$$

En algún momento de mi trabajo (ver más abajo), llego a $$u( \xi , \eta )=F( \xi )+G( \eta ).$$ Cuando volvemos a sustituir las variables, tenemos $$u(x,t)=F(x+t)+G(x-t).$$

Esta puede ser una pregunta muy simple de hacer, pero ¿por qué no es $u( \color {#00FF00}{x+t,x-t})=F(x+t)+G(x-t)$ ?

Mi trabajo hasta ahora:

Resolviendo $u_{xy}=0$ da la solución general $u(x,y)=F(x)+G(y)$ donde $F,G$ son funciones arbitrarias.

Ahora la solución del sistema $ \xi =x+t$ y $ \eta =x-t$ para $x,t$ da $x= \frac { \xi + \eta }2$ y $t= \frac { \xi - \eta }2$ . Así que me puse $$v( \xi , \eta ):=u \left ( \frac { \xi + \eta }2, \frac { \xi - \eta }2 \right )=u(x,t)$$

Diferenciando dos veces, obtengo $$v_{tt}=v_{ \xi \xi } - 2v_{ \xi \eta }+v_{ \eta \eta } \quad \text {and} \quad v_{xx}=v_{ \xi \xi } + 2v_{ \xi \eta }+v_{ \eta \eta }.$$

Por lo tanto, $v_{tt}-v_{xx}=0$ da $v_{ \xi \eta }=0$ .

Finalmente, tenemos $v( \xi , \eta )=F( \xi )+G( \eta )$ . Por lo tanto, $u(x,t)=F(x+t)+G(x-t)$ .

Answer 1

Definir una función $v$ por $v(x+t,x-t)=u(x,t).$ Definiendo $ \xi =x+t,$ $ \eta =x-t,$ podemos escribir $v( \xi , \eta )=u(( \xi + \eta )/2,( \xi - \eta )/2).$ Tomaré la anotación $u_x$ para significar el derivado de $u$ con respecto a su primer argumento y $u_t$ para significar el derivado de $u$ con respecto a su segundo argumento.

Así que $$ u_t(x,t)= \frac { \partial }{ \partial t}u(x,t)= \frac { \partial }{ \partial t}v( \xi , \eta )= \frac { \partial }{ \partial\xi }v( \xi , \eta ) \frac { \partial\xi }{ \partial t}+ \frac { \partial }{ \partial\eta }v( \xi , \eta ) \frac { \partial\eta }{ \partial t}=v_ \xi ( \xi , \eta )-v_ \eta ( \xi , \eta ). $$ No usaré las anotaciones $u_ \xi ,$ $u_ \eta ,$ $v_t,$ $v_x$ ya que los encuentro algo ambiguos. La notación $v_ \xi $ significa el derivado de $v$ con respecto a su primer argumento; de manera similar, $v_ \eta $ significa el derivado de $v$ con respecto a su segundo argumento. Continuando de la misma manera, calculamos $$ u_x(x,t)=v_ \xi ( \xi , \eta )+v_ \eta ( \xi , \eta ), $$ y luego $$ \begin {aligned} u_{tt}(x,t)&=v_{ \xi\xi }( \xi , \eta )-2v_{ \xi\eta }( \xi , \eta )+v_{ \eta\eta }( \xi , \eta ), \\ u_{xx}(x,t)&=v_{ \xi\xi }( \xi , \eta )+2v_{ \xi\eta }( \xi , \eta )+v_{ \eta\eta }( \xi , \eta ). \end {aligned} $$ De $u_{tt}(x,t)-u_{xx}(x,t)=0$ concluimos que $-4v_{ \xi\eta }( \xi , \eta )=0.$ Esto implica que podemos escribir $v( \xi , \eta )=F( \xi )+G( \eta ).$ Por lo tanto $$ u(x,t)=v(x+t,x-t)=F(x+t)+G(x-t). $$