Demostrar que el índice del conjunto de coset izquierdo en un grupo cíclico es finito

Question

Si G es cíclico, | G/H |

Ya sé que cualquier subgrupo de un grupo cíclico es cíclico pero no tengo ni idea de cómo probar un cociente de G es finito, especialmente cuando el teorema de Lagrange también sólo se aplican a conjunto finito.

Gracias todos por su ayuda, realmente lo agradecería!

Answer 1

Voy a esbozar una solución. Creo que usted debería ser capaz de completar los detalles.

Deje $G$ ser cíclico y generadas por $g$. Entonces, como sabemos que cualquier subgrupo también es cíclico, si $H$ es un subgrupo, que es generado por $g^n$ algunos $n\in \mathbb N$.

Afirmo que el índice de $H$$G$$n$, con cosets $H, gH, \cdots, g^{n-1}H$. Esto es suficiente para mostrar que cualquier elemento se encuentra en uno de los cosets. Corrección de un elemento $g^a$ y encontrar el resto al $a$ se divide por $n$. Se puede ver cómo este le dice que coset pertenece?

Answer 2

Sugerencia: Dejar $g$ ser un generador de $G$ y pico $h\in H$ $h\ne 1_G$. Sabes que $h=g^k$ $k\ne 0$. ¿Cuál es el máximo número posible de Cojunto izquierda que puede tener el subgrupo $\langle h\rangle$? ¿Puede hacer cualquier cojunto más izquierda de $H$ $\langle h\rangle$?