Las palabras $0,v_1,v_2,v_3,v_1+v_2,v_1+v_3,v_2+v_3,v_1+v_2+v_3$ formar un grupo $C$ bajo adición. Como observó rschwieb, las condiciones dadas implican que los 8 vectores son distintos. Obtenemos seis homomorfismos $f_i$ de $C$ a $\mathbb{Z}_2$ asignando cada vector a su bit en la posición $i$ , $i=1,2,\ldots,6$ . Porque $|f_i(C)|$ es 1 (si todas las palabras tienen un cero en la posición $i$ ) o 2 (si tanto 1 como 0 ocurren en esa posición, obtenemos que $|\mathrm{ker}(f_i)|$ es 4 u 8. Por lo tanto, en cada una de las seis posiciones de bits tenemos un cero en exactamente 4 de los vectores de $C$ o en los 8. En consecuencia, en cada una de las seis posiciones de bits tenemos un 1 en exactamente cuatro palabras, o un 0 en las 8 palabras.
Por lo tanto, la suma de los pesos de las palabras de $C$ es divisible por cuatro, y también $\le 4\cdot6=24$ . OTOH las desigualdades dadas implican que la suma de los pesos es al menos 23, por lo que debe ser exactamente 24. Por lo tanto, la "holgura" total (= la cantidad por la que la desigualdad deja de ser una igualdad) en estas desigualdades es exactamente uno.
Obtenemos una contradicción de la siguiente manera. Si todos los vectores $v_i$ tienen un peso par, entonces también lo tienen las sumas por pares $v_i+v_j,i\neq j$ . Pero el segundo conjunto de desigualdades produce entonces una holgura total de tres, que demostramos que es imposible. Así que al menos uno de los vectores $v_i$ debe tener peso impar. Para que el primer conjunto de desigualdades no produzca demasiada holgura, exactamente uno de los vectores $v_i$ , digamos $v_1$ deben ser de peso impar, y los otros dos deben tener peso cuatro. Pero en este caso $v_2+v_3$ tiene un peso par, y por lo tanto producirá cierta holgura en el segundo grupo de desigualdades. Por lo tanto, la holgura total sería al menos dos, lo que también es imposible.
