compacto de $K$ y $\Omega$ es abierto, entonces $\inf\{\rho(x,x') \mid x \in K \textrm{ and } x' \in \Omega^c\} > 0$

Question

Tengo que mostrar la siguiente: $(V,\rho)$ ser un espacio métrico, $K\subset V$ compacto y $\Omega \subset V$ está abierta,$d(K,\Omega^c) = \inf\{\rho(x,x') \mid x \in K \textrm{ and } x' \in \Omega^c\} > 0$.

Yo tenía en mente lo siguiente.

Para cada $x \in V$ $f_x: K \rightarrow \mathbb{R}: a \mapsto \rho(a,x)$ es continua. Desde $K$ es compacto, $\min(f_x(K))$ existe. Así que pensé que podría ser posible que $\{\rho(x,x') \mid x \in K \textrm{ and } x' \in \Omega^c\}$ contiene su infimum y, por tanto, $d(K,\Omega^c)$ no puede ser $0$ desde $K$ $\Omega^c$ son disjuntas.

También, $$\{\rho(x,x') \mid x \in K \textrm{ and } x' \in \Omega^c\} = \displaystyle\bigcup_{x\in \Omega^c} f_x(K)$$

Pero desde el mínimo de un infinito unión no existe necesariamente no tengo ni idea de cómo proceder. Así que me pregunto si estoy buscando en la dirección correcta. Si es así, alguien podría darme una pista? Si no, podría alguien me apunte en la dirección correcta.

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Answer 1

Que $F=\Omega^c$. Luego se cierra $F$. Para cada $x\in K$ $\inf{d(x,y),y\in F}$ es positivo (ya que suponemos $K$ $F$ disjuntos, de lo contrario no es cierto). De hecho, si $F$ es un conjunto, cerrado $x\in F$ si y sólo si $\inf{d(x,y),y\in F}=0$.

El mapa $x\mapsto \inf{d(x,y),y\in F}$ es continuo. ¿Qué tal un mapa positivo sobre un conjunto compacto?