Que $V$ ser un vector normado espacio (no necesariamente un espacio de Banach) que $S$ y $T$ continuas transformaciones lineales de $V$ $V$. Si asumimos que el $T=T \circ S \circ T$. Entonces, ¿cómo mostrar que $T(V)$ es un subespacio cerrado de $V$? ¡Gracias por tu ayuda!
Respuesta
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Grzenio
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Sugerencia: Considere el $1 - TS$ y su núcleo.
Añadió:
Tenemos $T(V) = \ker{(1-TS)}$.
Observar que $x \in \ker{(1-TS)}$ significa que $x = TSx$, lo $x \in T(V)$. Por lo tanto,$\ker{(1-TS)} \subset T(V)$.
Si $x \in T(V)$ $x = Ty$ algunos $y \in V$ e lo $(1-TS)x = (1-TS)Ty = Ty - TSTy = 0$, lo $\ker{(1-TS)}\supset T(V)$.
Se sigue de 1. y 2. que $\ker{(1-TS)} = T(V)$.
El núcleo de un continuo operador entre la normativa de los espacios es cerrado, ya que es la pre-imagen de $0$. Por lo tanto, $T(V) = \ker{(1-TS)}$ es cerrado.
Lo que está pasando es que el $T = TST$ implica que el $TS$ es una proyección: $$ (TS)^2 = (TS)(TS) = (TST)S = TS. $$ El rango de una proyección de $P$ es el núcleo de su complementario proyección de $(1-P)$. Aplicar esto a $P = TS$.
