Propiedades de secuencias de funciones acotadas en $L^2$

Question

Sea $f_n: [0, 1] \to \mathbb{R}$ una secuencia limitada de funciones $L^2([0, 1])$. Esto significa que existe $C_0 > 0$ así que $$|fn|{L^2} \le C_0 \text{ for all }n.$$Assume that $ f_n $ converges to $f $ in $L ^ 1 ([0, 1]) $. Tengo dos preguntas.

1. ¿Necesariamente se tiene que $f \in L^2([0, 1])$?
2. ¿Necesariamente tenemos que $|f|_{L^2} \le C_0$?

Answer 1

Un argumento menos funcional analítica es a través del lema de Fatou (aplicado a $|f_n|^2$), ya que un subsequence converge pointwise a.e.

Answer 2

Aquí está una prueba inspirado por @Bananach la respuesta: (yo quería encontrar una prueba de que no utilizar pointwise límites para mostrar la igualdad.)

El conjunto $\bar{B}(0,C_0) \subset L^2[0,1]$ es débilmente compacto (por Banach Alaoglu), por lo tanto, hay algunos $\tilde{f} \in \bar{B}(0,C_0)$ tal que $f_{k_k}\overset{\text{weak}}{\to} \tilde{f}$ para algunas larga.

Para terminar, sólo tenemos que mostrar que $f = \tilde{f}$.

Supongamos $\phi$ es limitado (es decir, hay algo de $B$ tal que $|\phi(x)| \le B$ todos los $x$) y medibles, entonces tenemos (yo soy implícitamente el uso de el hecho de que $L^2[0,1] \subset L^1[0,1]$): $|\langle \phi , f -\tilde{f} \rangle | \le |\langle \phi , f -f_{n_k} \rangle | + |\langle \phi , \tilde{f}-f_{n_k} \rangle | \le \|\phi\|_\infty \|f -f_{n_k} \|_1 + |\langle \phi , \tilde{f}-f_{n_k} \rangle |$ y por lo tanto $\langle \phi , f -\tilde{f} \rangle = 0$ para todos los acotado medible $\phi$.

Eligiendo $\phi$ a ser un indicador adecuado de la función, vemos que $f(x) = \tilde{f}(x)$ ae. $x$.

Answer 3

La respuesta a ambas preguntas es sí. Delimitada secuencias en $ L^2$ han débilmente convergente subsecuencias. Por la singularidad de las casi en todas partes pointwise límite, estos débiles límites coinciden con su $ f $. Además, la norma de los débiles límite de una larga es menor que el límite inferior de las normas de los elementos de la secuencia.

Con un poco menos abstracta argumentos, definir un funcional $\phi$ $ L^2$ como sigue. Para cada una de las $ g\in C [0,1]\cap L^2[0,1] $ definir $\phi(g ) $$\int f g $. Compruebe que el operador de la norma de $\phi$, en el subespacio donde ia definido equipado con el $ L^2$ norma, es menor que $ C_0$. Por lo tanto, podemos extender $\phi $ para el total de espacio, y la conclusión al observar que el $ L^2$ norma de $ f $ es igual a la del operador de la norma de que la extensión, la cual es todavía limitada por la misma constante.

Como he dicho, sólo un poco menos abstractos, y tal vez con más detalles para ser llenado.