Encuentre los autovalores y autovectores de una matriz con 3 incógnitas

Question

Deje que $P=\begin{pmatrix} 1-\alpha & \alpha & 0\\ 0 & 1-\beta & \beta \\ \gamma & 0 & 1-\gamma \end{pmatrix}$ where $0<\alpha,\beta\gamma<1$.

Así, $P-\lambda= \begin{pmatrix} 1-\alpha-\lambda & \alpha & 0\\ 0 & 1-\beta-\lambda & \beta \\ \gamma & 0 & 1-\gamma-\lambda \end{pmatrix}.$

\begin{equation*} \begin{aligned} 0 = \det(P-\lambda) = & (1-\alpha) \cdot \begin{vmatrix} 1-\beta-\lambda & \beta \\ 0 & 1-\gamma-\lambda \end{vmatrix} -\alpha \cdot \begin{vmatrix} 0 & \beta \\ \gamma & 0 \end{vmatrix} \\ = Y (1-\alpha-\lambda) \cdot (1-\beta\lambda) \cdot (1-\gamma\lambda) -\alpha \cdot (0 - \beta \gamma ) \\ = Y (1-\alpha-\lambda)(1-\beta\lambda)(1-\gamma\lambda) +\alpha \beta \gamma \\ = & 1-\alpha\beta\gamma+\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma + (2\alpha+2\beta+2\gamma\alpha\beta\beta\gamma\alpha\gamma-3)\lambda \\ & + (3-\alpha\beta\gamma)\lambda^2 -\lambda^3 \\ = & (\lambda -1)(1-\alpha\beta\gamma+\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma + (\alpha+\beta+\gamma-2)\lambda + \lambda^2) \end{aligned} \end{ecuación*}

A partir de aquí yo estaba pensando en usar la fórmula cuadrática en el resto de los cuadrática, pero con el hecho de que no sé lo $\alpha,\beta,\gamma$ son equivalentes a pensé que era un callejón sin salida.

Al$\lambda=1$, $$P-\lambda=\begin{pmatrix} -\alpha & \alpha & 0\\ 0 & -\beta & \beta \\ \gamma & 0 & -\gamma \end{pmatrix}.$$ We can observe that the eigenvector corresponding to this eigenvalue is $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\end{pmatrix}.$$

Answer 1

Usted ya tiene el autovalor 1. Si todo lo que usted necesita hacer es encontrar los valores propios, entonces yo sería el uso de la fórmula cuadrática a partir de allí, ya que estaba pensando en hacer - me pongo de los dos siguientes valores: $$ \lambda_2, \lambda_3 = \frac{1}{2}\left (2-\alpha -\beta - \gamma \pm \sqrt{\alpha^2 + (\beta-\gamma)^2 - 2\alpha(\beta+\gamma)} \right).$$ De hecho su parte en virtud de la raíz cuadrada (como se mencionó en los comentarios) es posiblemente más simple. No parece como si la pregunta se le pide nada más que eso...

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Sólo una nota: a menudo en los exámenes y los trabajos de las preguntas con "agradable" respuestas se presentan. en el real de las situaciones prácticas, la respuesta es a menudo no es tan "bonito". Mientras que puede haber maneras más simples de lo que es el método estándar para encontrar los autovalores en este 3x3 caso - no hay ninguna razón para esperar que la respuesta debe verse bien en la final. Siga el método estándar para la determinación de los vectores propios y se llega a la respuesta correcta...tal vez no se ven bien...pero eso no significa que esté mal. Con los vectores propios siempre puede comprobar su respuesta al final para asegurarse de que los vectores se han encontrado son de hecho los vectores propios. Así que os animo a encontrar los vectores propios para ti.